Übungen zur Algebra I

Übungen zur Algebra I

- 2. Blatt -

Prof. Dr. K. Wingberg WS 2010/2011

J. Bartels abzugeben bis Donnerstag, den 28. Oktober 2010 um 9:15 Uhr

. in den Kästen neben dem Seifertraum

http://www.mathi.uni-heidelberg.de/∼bartels/Vorlesung

Name: /name/ Matrikelnummer: /nr/

Übungsleiter: /uebleiter/

2. Name: /namezwei/ 2. Matrikelnummer: /nrzwei/

Man achte auf eine saubere Darstellung und eine ordentliche Schrift.

Bitte keine maschinell erstellten Lösungen abgeben.

Aufgabe 1 2 3 4 P

Punkte

1 . Aufgabe (6 Punkte):

Gegeben sei eine Gerade mit den Punkten 0 und 1. Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal daraus die komplexe Zahl

−1 4 +1

4

√ 5−

r5 8+1

8

√ 5

! i.

Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise.

2 . Aufgabe (6 Punkte):

Es seiK:=Q(√³

2, j),K1:=Q(√³

2)sowieK2:=Q(j). Hierbei seij =e^2πi3 . a) Finden Sie das Minimalpolynom von√³

2undj überK, K1, K2 undQ.

b) Zeigen Sie, daÿ das Minimalpolynom von √³

2 +j überQden Grad 6 hat.

3 . Aufgabe (6 Punkte):

Für eine natürliche Zahln≥2betrachte man das regelmäÿigen−EckΓimR²mit den EckenAk, deren Koordinaten durch

(x, y) = (cos(2πk/n), sin(2πk/n)), 1≤k≤n

gegeben sind.Osei der Ursprung des Koordinatensystems.D_n sei die Gruppe der Drehungen und Spiegelungen der Ebene, welche die EckenA_k ineinander überführen.

i

a) Es seir die Rotation um O um den Winkel 2π/n und s die Spiegelung an der x−Achse.

Zeigen Sie, daÿ sich jedes Element ausDn als Produkt von Potenzen vonrundsschreiben läÿt.

b) Zeigen Sie, daÿ die Abbildung ϕ:Dn →M2×2(R);r7→

cos(^2π_n) −sin(^2π_n) sin(^2π_n) cos(^2π_n)

;s7→

1 0 0 −1

einen Gruppenhomomorphismus deniert. Wieviele Elemente hat das Bild? Ist diese Abbil- dung injektiv?

c) Welche Elementeσ ausD_n lassen sich in folgender Weise ausdrücken: σ=g₁g₂g⁻¹₁ g₂⁻¹ mit g₁, g₂∈D_n.

ii