Übungen zur Algebra I
- 8. Blatt -
Prof. Dr. K. Wingberg WS 2010/2011
J. Bartels abzugeben bis Donnerstag, den 9. Dezember 2010 um 9:15 Uhr in den Kästen neben dem Seifertraum http://www.mathi.uni-heidelberg.de/∼bartels/Vorlesung
Name: /name/ Matrikelnummer: /nr/
Übungsleiter: /uebleiter/
2. Name: /namezwei/ 2. Matrikelnummer: /nrzwei/
Man achte auf eine saubere Darstellung und eine ordentliche Schrift.
Bitte keine maschinell erstellten Lösungen abgeben.
Aufgabe 1 2 3 4 P
Punkte
1 . Aufgabe (6 Punkte):
Es seip >0 eine Primzahl undK ein Körper der Charakteristikp.
a) Es seien Elementea, b∈K\Kp undα, β∈K derart gegeben, daÿαp=aundβp=b gilt.
Zeigen Sie, daÿK(α) =K(β)genau dann gilt, wennKp(a) =Kp(b)gilt. Hierbei bezeichne K einen fest gewählten algebraischen Abschluÿ zuK.
b) Wenn[K:Kp] =pist, dann zeige man, daÿ für gegebenesn∈Nes stets eine und nur eine Teilerweiterung inK gibt, welche rein inseperabel vom Gradpn überK ist, gibt.
c) Ist E/K eine endliche Erweiterung mit[E :K]i =pr, r∈Nund gibt es keins < r, so daÿ EpsK überK separabel ist, dann istE eine einfache Erweiterung.
i
2 . Aufgabe (6 Punkte):
Es sei f(X) ∈ K[X] ein normiertes Polynom nten Grades mit Koezienten aus einem Körper K.Ω/K sei ein fest gewählter algebraischer Abschluÿ vonK und{α1, ..., αn} ⊂Ωdie Menge der Nullstellen vonf(X)inK.
a) Zeigen Sie, daÿ
D(f) := Y
1≤i<j≤n
(αi−αj)2
ein Element des Körpers Kist.
b) Die Determinante aus der zweiten Aufgabe des fünften Aufgabenblatts wird mit R(f, g) bezeichnet. Zeigen Sie, daÿ
D(f) = (−1)n(n−1)/2R(f, f0)gilt.
3 . Aufgabe (6 Punkte):
Es seif(X) =X3+aX2+bX+cein Polynom aus Q[X].
a) Finden Sie eine lineare TransformationY =αX+β derart, daÿ daraus das Polynomf(Y) = Y3+pY +qwird.
b) Berechnen SieD(f)aus Aufgabe 2.
4 . Aufgabe (6 Punkte):
Es sei F ein Körper der Kardinalitätq. Wenn d≥1 ist, bezeichne Id die Menge der normierten irreduziblen Polynome vom GraddausF[X]undNd ihre Anzahl.
a) Es sei n≥1. Zeigen Sie, daÿ der Grad eines irreduziblen Teilers von Xqn−X die Zahl n teilt und daÿ umgekehrt jedes Element ausId ein Teiler vonXqn−X ist, wennd|ngilt.
b) Zeigen Sie die Gleichheit
qn=X
d|n
dNd.
c) Zeigen Sie, daÿ für n∈N
Nn ≥ 1
nqnq−2 q−1 gilt.
d) Es sei µ : N\ {0} → {−1,0,1} durch µ(n) = (−1)r gegeben, wenn n das Produkt von r verschiedenen Primzahlen ist und im sonstigen Fall durchµ(n) = 0deniert. Zeigen Sie:
Wenn f undg zwei Funktionen vonN\ {0}nachCsind, dann giltf(n) =P
d|ng(d)genau dann für jedesn, wenng(n) =P
d|nµ(n/d)f(d)für jedesngilt. Insbesondere gilt Nn= 1
n X
d|n
µ(n/d)qd .
ii
