Übungen zur Algebra I
- 1. Blatt -
Prof. Dr. K. Wingberg WS 2008/2009
J. Bartels abzugeben bis Dienstag, den 14. Oktober 2008 um 9:15 Uhr
. in den Kästen neben dem Seifertraum
http://www.mathi.uni-heidelberg.de/˜bartels/LA
Name: /name/
Matrikelnummer: /nr/
Übungsleiter: /uebleiter/
2. Name: /namezwei/
2. Matrikelnummer: /nrzwei/
Man achte auf eine saubere Darstellung und eine ordentliche Schrift. Bitte keine maschinell er- stellten Lösungen abgeben.
Auf gabe 1 2 3 4 P
P unkte
1 . Aufgabe (6 Punkte):
Gegeben sei eine Gerade mit den Punkten 0 und 1. Konstruieren Sie daraus die komplexe Zahl
−1 4 +1
4
√ 5−
r5 8+1
8
√ 5.i.
Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise.
2 . Aufgabe (6 Punkte):
Gegeben sei derQ-Vektorraum K=Q(√
2,√
3) ={a+b√ 2 +c√
3 +d√
6|a, b, c, d∈Q} ⊂C. Zeigen Sie:
a) Jedes Elementα∈K\ {0} deniert einen Isomorphismus K→K, x7→αx, den man auch mit αbezeichnen kann.
i
b) Berechnen Sie die Eigenwerte und das Minimalpolynom von√
2und√ 2 +√
3. 3 . Aufgabe (6 Punkte):
Es sei das Polynom P(X) = X3+X + 1 gegeben. Es sei K := Q[X]/(P) der Restklassenring moduloP.
a) Zeigen Sie, daÿ jedes α∈ K\ {0} invertierbar ist, indem Sie zeigen, daÿ das Polynom P irreduzibel ist.
b) Was ist das Inverse vonX mod P undX2+X mod P? 4 . Aufgabe (6 Punkte):
Für eine natürliche Zahln≥2betrachte man das regelmäÿigen−EckΓimR2mit den EckenAk, dessen Koordinaten durch
(x, y) = (cos(2πk/n), sin(2πk/n)), 1≤k≤n
gegeben sind.Osei der Ursprung des Koordinatensystems.Dn sei die Gruppe der Drehungen und Spiegelungen der Ebene, welche die EckenAk ineinander überführen.
a) Zeigen Sie, daÿDn die zyklische Gruppe der Ordnungn enthält, welche von der Rotation r umO um den Winkel 2π/n erzeugt wird und daÿ sie die Spiegelung s an derx−Achse enthält.
b) Es seig∈Dn gegeben. Zeigen Sie, daÿg(O) =O unddet(g)∈ {±1} gilt. Wenndet(g) = 1 ist und eine EckeAk vong festgelassen wird, dann giltg=id.
c) Zeigen Sie, daÿDn vonrundserzeugt wird.
ii
