Übungen zur Algebraischen Zahlentheorie I

Übungen zur Algebraischen Zahlentheorie I

- 3. Blatt -

Prof. Dr. K. Wingberg WS 2009/2010

J. Bartels abzugeben bis Donnerstag, den 5. November 2009 um 9:15 Uhr

. in den Kästen neben dem Seifertraum

http://www.mathi.uni-heidelberg.de/∼bartels/Vorlesung

Name: /name/ Matrikelnummer: /nr/

Übungsleiter: /uebleiter/

2. Name: /namezwei/ 2. Matrikelnummer: /nrzwei/

Man achte auf eine saubere Darstellung und eine ordentliche Schrift.

Bitte keine maschinell erstellten Lösungen abgeben.

Aufgabe 1 2 3 4 P

Punkte

1 . Aufgabe (6 Punkte):

Es seiF ein Zahlkörper,peine Primzahl undRein Teilring von endlichem Index inOF. Man setze N :={x∈R|x modpRist nilpotent.}, R⁰ :={x∈ OF|xN ⊆N}und R⁰⁰ :={x∈ OF|px∈R}. Zeigen Sie:

a)

R⁰=R⁰⁰.

b) Es istR=R⁰ genau dann, wenn die Abbildung

m:R/pR→End(N/pN), x7→m_x,

wobei m_xdie Multiplikation mitxbedeutet, injektiv ist. Wennmnicht injektiv ist, gilt für jeden Vertreter x∈Reines nichttrivialen Elements aus dem Kern

R(R[x

p]⊆ OF. 2 . Aufgabe (6 Punkte) (Anwendung der ersten Aufgabe):

Berechnen Sie den Ganzheitsring vonQ(√³ 17).

i

3 . Aufgabe (6 Punkte) (Wiedersehen mit 2. Blatt, 4. Aufgabe):

Es seiK=Q(α), wobeiαeine Nullstelle des Polynomsf(X) =X³+X²−2X+ 8ist. Mitβ:= _α⁴ ist der GanzheitsringOK=Z[α, β]nach der 4. Aufgabe des letzten Blatts.

a) Zerlegen Sie das Ideal(2)darin in seine Primfaktoren und folgern Sie, daÿ es keine überQ algebraische Gröÿeγ gibt, für die sichOK alsZ[γ]schreiben läÿt.

b) Für jedes primitive Elementγ∈ OK gilt:2|(OK :Z[γ]). 4 . Aufgabe (6 Punkte):

Es seiK=Q(√

D)der quadratische Zahlkörper mit DiskriminanteD <0 undD≡0,1(mod4). a) Zeigen Sie, daÿ sich jedes IdealIfolgendermaÿen schreiben läÿt

δ(aZ+b+√ D

2 Z)mita, b, δ∈Z, a >0, wobei

b²≡D(mod4a),|b| ≤a.

Umgekehrt stellt jede solche Menge ein Ideal I dar, für dessen Index (OK : I) = aδ² gilt und dessen Schnitt mitZdurchI∩Z=δaZbeschrieben wird.

b) Es seic:= ^b2_4a^−D. Zeigen Sie, daÿ

(c,−b+√ D 2 )⁻¹.I ein Hauptideal ist.

ii