0, (x, t)∈∂Ω×(0, T), u(x, t = 0

TU Wien WS 2008/09 Institute for Analysis and Scientific Computing

Prof. A. Arnold, Dipl.-Math. J. Geier, Dipl.-Math. J. Sprenger

11. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung “Partielle Differentialgleichungen”

(Maximumprinzip f¨ur parabolische Gleichungen; Wellengleichungen) 1. Aufgabe

Seien T >0, Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet, f ∈C¹(R) eine monoton fallende Funktion und u₀ ∈C(Ω) mitu₀|_∂Ω = 0. Zeigen Sie, dass die nichtlineare Gleichung

u_t = ∆u+f(u) in G:= Ω×(0, T), u(x, t) = 0, (x, t)∈∂Ω×(0, T),

u(x, t = 0) = u₀(x), x∈Ω,

h¨ochstens eine L¨osung u∈C( ¯G)∩C²(G) hat.

Hinweis: Mittelwertsatz der Differentialrechnung, parabolisches Maximumprinzip

2. Aufgabe

Sei Ω = (0, π). L¨osen Sie die Gleichung

utt−uxx = 0 mit u(x, t= 0) ≡ 1, ut(x, t= 0) ≡ 0, zu den inhomogenen Randbedingungen

u(x= 0, t) ≡ 0, mit u(x=π, t) = πsin(t).

Hinweis/Vorgehensweise: Seien (λk, ϕk) Eigenwerte und normierte Eigenfunktionen von−∂_x² mit homogenen Randbedingungen. Suchen Sie eine

”brave“ Funktionu_d(x, t),die die obigen Randbedingungen erf¨ullt. L¨osen Sie dann die Gleichung f¨urv=u−u_d mit einem

Separationsansatz v(x, t) =P∞

k=1ak(t)ϕk(x).

Sch¨atzen Sie dieL²(Ω)–Norm von u(., t) und ut(., t) ab. Was geschieht f¨ur t→0?

3. Aufgabe

Seien E = (E₁, E₂, E₃) und B = (B₁, B₂, B₃) (elektrisches bzw. magnetisches Feld) L¨osungen der Maxwell Gleichungen

E_t = rotB B_t = −rotE divE = divB = 0.

Zeigen Sie, dass u_tt−∆u= 0 f¨ur u=E_i und u=B_i (i= 1,2,3) gilt.

4. Aufgabe

Zeigen Sie, dass f¨ur jedes h∈C²(R)

u(x, t) := h(t− |x|)

|x|

eine L¨osung der Wellengleichung in (R³x\{0})×Rt ist.

Besprechung in den ¨Ubungen am 18. und 19.12.