Thermodynamik Serie 10 - Musterl¨ osung

Thermodynamik Serie 10 - Musterl¨ osung

HS 2020 Prof. P. Jetzer

M. Haney, S. Tiwari, M. Ebersold

https://www.physik.uzh.ch/de/lehre/PHY341/

Ausgeteilt am: 24.11.20 Abzugeben bis: 01.12.20

1. Liouville

Per Annahme gilt, dass ρ(q, p, t) = ρ(H(q, p), t). Wir wollen zeigen, dass dann die Verteilung station¨ ar ist, d.h. ^∂ρ _∂t = 0.

Die Poisson Klammer ist definiert durch {f, g} =

3N

X

i=1

∂f

∂q _i

∂g

∂p _i − ∂g

∂q _i

∂f

∂p _i

. (1)

Mit _∂q ^∂ρ

i

= _∂H ^{∂ρ ∂H} _∂q

i

uns _∂p ^∂ρ

i

= _∂H ^{∂ρ ∂H} _∂p

i

folgt {ρ, H} =

3N

X

i=1

∂ρ

∂q _i

∂H

∂p _i − ∂H

∂q _i

∂ρ

∂p _i

=

3N

X

i=1

∂ρ

∂H ∂H

∂q i

∂H

∂p i

− ∂H

∂q i

∂H

∂p i

= 0.

(2)

Mit dem Satz von Liouville folgt also

∂ρ

∂t = −{ρ, H} = 0. (3) 2. Mikrokanonische Gesamtheit

Sei E die Gesamtenergie des Systems. W¨ ahle ∆E E, dann ist die normierte mikrokanoni- sche Dichteverteilung

ρ(q, p) =

ρ 0 falls E − ∆E ≤ H(q, p) ≤ E

0 sonst. (4)

Es gilt also 1 = ^!

Z

d ^2N q d ^2N p ρ(q, p) = ρ ₀ Z

E−∆E≤H≤E

d ^2N q d ^2N p = ρ ₀ Γ(E) (5)

1

und damit

ρ ₀ = Γ(E) ⁻¹ = Z

E−∆E≤H ≤E

d ^2N q d ^2N p −1

. (6)

Dabei ist Γ(E) das Phasenraumvolumen der Energieschale der Dicke ∆E Γ(E) =

Z

d ^2N q d ^2N p ρ(q, ˜ p) = Z

E−∆E≤H≤E

d ^2N q d ^2N p (7) mit der nicht normierten Dichteverteilung

˜

ρ(q, p) =

1 falls E − ∆E ≤ H(q, p) ≤ E

0 sonst. (8)

Mit dem Phasenraumvolumen innerhalb der E-Fl¨ ache Σ(E) =

Z

H≤E

d ^2N q d ^2N p (9)

k¨ onnen wir das Volumen der Energieschale ausdr¨ ucken durch

Γ(E) = Σ(E) − Σ(E − ∆E). (10)

Wir wollen nun also einen Ausdruck f¨ ur Σ(E) finden. Der Hamiltonian f¨ ur das N-Teilchensystem ist gegeben durch H = P N

i=1 p

2m . Aus der Bedingung H(q, p) ≤ E folgt P N

i=1 p ² _i ≤ 2mE. Das Integral R

H≤E d ^2N p gibt also genau das Volumen einer 2N −dimensionalen Kugel mit Radius

√ 2mE .

Im allgemeinen ist das Volumen einer n−dimensionalen Kugel mit Radius R gegeben durch V n =

Z

|x|≤R

d ⁿ x = π ^n/2

Γ( ⁿ ₂ + 1) R ⁿ . (11)

Mit R

H≤E d ^2N q = [(x ₀ − 0)(y ₀ − 0)] ^N = (x ₀ y ₀ ) ^N und Γ(N + 1) = N! folgt Σ(E) = (x 0 y 0 ) ^N π ^N

N ! (2mE ) ^N = (2πm x 0 y 0 ) ^N

N ! E ^N (12)

und damit

Γ(E) = (2πm x 0 y 0 ) ^N N !

E ^N − (E − ∆E) ^N

= Σ(E)

1 − (1 − ∆E E ) ^N

.

(13)

Der Term in den Klammern geht f¨ ur N → ∞ gegen 1. F¨ ur gen¨ ugend grosse N k¨ onnen wir also schreiben

Γ(E) ≈ Σ(E). (14)

Oder anders ausgedr¨ uckt: F¨ ur grosse N befindet sich fast das gesamte Volumen einer N −dimensionalen Kugel in einer d¨ unnen Oberfl¨ achenschicht.

Die normierte Dichteverteilung ist nun

ρ ₀ = Γ(E) ⁻¹ ≈ Σ(E) ⁻¹ = N !

(2πm x ₀ y ₀ ) ^N E ^N . (15)

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