Thermodynamik Serie 9 - Musterl¨ osung

Thermodynamik Serie 9 - Musterl¨ osung

HS 2020 Prof. P. Jetzer

M. Haney, S. Tiwari, M. Ebersold

https://www.physik.uzh.ch/de/lehre/PHY341/

Ausgeteilt am: 17.11.20 Abzugeben bis: 24.11.20

1. Entropie

a) g(x) ist konkav falls g

⁰⁰

(x) ≤ 0. Berechne nun die zweite Variation von H(f ) bei einer kleinen ¨ Anderung f (~ x, ~ v) → f (~ x, ~ v) + df (~ x, ~ v):

d

²

d

²

H(f + df )

=0

= − d

²

d

²

Z

d

³

x d

³

v(f + df ) ln(f + df )

=0

= − Z

d

³

x d

³

v df

²

f ≤ 0 , (1)

da sowohl f ≥ 0 und df

²

≥ 0. Bei einer kleiner ¨ Anderung df ist die zweite Ableitung von H(f) also negativ, i.e. H ist konkav.

b) Wir suchen f (~ x, ~ v) mit Z

d

³

x d

³

v f = N , (2)

Z

d

³

x d

³

v mv

²

2 + ω(~ x)

f = U , (3)

so dass H(f ) maximal wird. Zur Bestimmung des Extremum mit Nebenbedingungen verwenden wir Lagrange-Multiplikatoren.

0 = δ(H(f ) − λ

₁

N (f ) − λ

₂

U (f )) , (4)

⇐⇒ 0 = δ

− Z

d

³

x d

³

v

f ln(f ) + λ

1

f + λ

2

mv

²

2 + ω(~ x)

f

, (5)

⇐⇒ 0 = − Z

d

³

x d

³

v

δf ln(f ) + δf + λ

₁

δf + λ

₂

mv

²

2 + ω(~ x)

δf

, (6)

⇐⇒ 0 = − Z

d

³

x d

³

v δf

ln(f) + 1 + λ

₁

+ λ

₂

mv

²

2 + ω(~ x)

. (7)

Diese Gleichung muss f¨ ur jede Variation δf gelten, also folgt 0 = ln(f ) + 1 + λ

₁

+ λ

₂

mv

²

2 + ω(~ x)

, (8)

⇒ f(~ x, ~ v) = exp

−1 − λ

1

− λ

2

mv

²

2 + ω(~ x)

. (9)

1

Die Lagrange-Multiplikatoren λ

1

und λ

2

bestimmen wir ¨ uber die Nebenbedingungen N = N (f ) und U = U (f ):

N = Z

d

³

x d

³

v exp

−1 − λ

1

− λ

2

mv

²

2 + ω(~ x)

, (10)

⇒ N e

^1+λ1

= Z

d

³

x d

³

v exp

−λ

₂

mv

²

2 + ω(~ x)

, (11)

U e

^1+λ1

= Z

d

³

x d

³

v mv

²

2 + ω(~ x)

exp

−λ

₂

mv

²

2 + ω(~ x)

. (12) Mit Z(λ

2

) = R

d

³

x e

^−λ2ω(~x)

folgt aus 11:

N e

^1+λ1

= Z (λ

₂

) Z

d

³

v exp

−λ

₂

mv

²

2

, (13)

⇒ Z (λ

2

) = N e

^1+λ1

mλ

2

2π

3/2

. (14)

F¨ ur 12 gilt U e

^1+λ1

=

Z

d

³

x d

³

v mv

²

2 exp

−λ

₂

mv

²

2

e

^−λ2ω(~x)

(15)

+ ω(~ x) exp

−λ

₂

mv

²

2

e

^−λ2ω(~x)

(16)

=Z(λ

₂

) Z

d

³

v mv

²

2 exp

−λ

₂

mv

²

2 − Z

⁰

(λ

₂

) Z

d

³

v exp

−λ

₂

mv

²

2

(17)

=Z(λ

2

) 3 2λ

2

2π mλ

2

3/2

− Z

⁰

(λ

2

) 2π

mλ

2

3/2

. (18)

Falls ω(~ x) bekannt ist, kann man Z (λ

₂

) berechnen und Gleichungen 14 und 18 nach λ

1

(N, U ) und λ

2

(N, U ) aufl¨ osen und daraus die Funktion f aus 9 bestimmen.

c) Bestimme nun das Maximum von H(U, V, N ) f¨ ur ω(~ x) = 0. Aus 14 erhalten wir Z(λ

₂

) =

Z

d

³

x 1 = V = N e

^1+λ1

mλ

₂

2π

3/2

, (19)

⇒ e

^1+λ1

= V N

2π mλ

₂

3/2

. (20)

Einsetzen in 18 ergibt

U V N

2π mλ

2

3/2

= V 3 2λ

2

2π mλ

2

3/2

, (21)

⇒ λ

2

= 3 2

N

U , (22)

⇒ e

^1+λ1

= V N

4πU 3N m

3/2

. (23)

2

Wir erhalten also

f(~ v) =

3N m 4πU

3/2

N V exp

− 3 2

N U

mv

²

2

. (24)

Mit R

d

³

x = V und f = f (~ v) erhalten wir f¨ ur H(f ):

H(f) = H(U, V, N ) = −N ln

3mN 4πU

3/2

N V

! + 3

2 N . (25)

Die Entropie ergibt sich zu

S(U, V, N ) = kH(U, V, N ) = −kN ln

3mN 4πU

3/2

N V

! + 3

2 kN , (26) und wir erhalten die kalorische und die thermische Zustandsgleichung

∂S

∂U

V,N

= 1 T = 3

2 kN

U , (27)

∂S

∂V

U,N

= p T = kN

V . (28)

3