Thermodynamik Serie 11 - Musterl¨ osung

Thermodynamik Serie 11 - Musterl¨ osung

HS 2020 Prof. P. Jetzer

M. Haney, S. Tiwari, M. Ebersold

https://www.physik.uzh.ch/de/lehre/PHY341/

Ausgeteilt am: 01.12.20 Abzugeben bis: 08.12.20

1. Entropie

a) Der geordnetste Zustand ist derjenige, in dem alle Teilchen zusammen in einem einzigen bestimmten K¨ astchen sind. Man weiss von jedem Teilchen, wo es ist, deshalb ist der Informationsgehalt maximal. Der ungeordnetste Zustand ist derjenige, in dem n _i = N/K f¨ ur alle i: Die Teilchen sind mit der gleichen Wahrscheinlichkeit in jedem K¨ astchen und man hat am wenigsten Information ¨ uber deren Position.

b) F¨ ur eine gegebene Verteilung {n _i } gibt es N !/ Q

i n _i ! M¨ oglichkeiten, die Teilchen auf die K¨ astchen zu verteilen. Die Entropie ist deshalb gegeben durch

S = k _B log N ! − k _B X

i

log (n _i !) . (1)

Mit Hilfe der Stirling-Approximation (log N ! = N log N − N f¨ ur grosse N ) findet man S = −k _B X

i

n _i log n _i

N . (2)

c) Die Nebenbedingung N = P

i n i implementieren wir mit Hilfe eines Lagrange-Multiplikators µ, d.h. da die Entropie im Gleichgewicht maximal sein soll maximieren wir

S e = −k _B X

i

n _i log n _i

N + k _B µ X

i

n _i − N

!

. (3)

Wir erhalten die Gleichungen

n _i = N e ^µ−1 (4)

⇒ N = X

i

n i = KN e ^µ−1

⇒ µ = 1 − log K. (5)

Durch Einsetzen in Gl. (4) erh¨ alt man schliesslich

n _i = N/K, ∀i, (6)

also genau die Verteilung die der maximalen Unordnung entspricht! Die Entropie in diesem Fall ist gegeben durch

S = k _B N log K. (7)

1

2. Idealer Paramagnet

a) Mit n = n ₊ − n − und N = n ₊ + n − gilt n ± = (N ± n)/2. Die Anzahl Zust¨ ande ist gleich die Anzahl Kombinationen von Momente, die dieselbe Magnetisierung M geben, d. h.

Ω(M ) = N !

n ₊ ! n − ! . (8)

b) Wir benutzen die Stirling-Formel und bekommen log Ω(M ) = log(N !) − log(n + !) − log(n − !)

≈ N (log N − 1) − N + n 2

log

N + n 2

− 1

− N − n 2

log

N − n 2

− 1

, (9) wobei ¹ ₂ log(π ² (N ² − n ² )) vernachlssigt wird. Die Entropie ist gegeben durch

S = k _B log Ω(n)

= N k _B log(2) − N k _B 2

1 + n

N

log 1 + n

N

+ 1 − n

N

log 1 − n

N

. (10) Durch einsetzen von n = − _Hm ^E ergibt sich S(E, H).

c) Aus dS = (1/T )dU + (M/T )dH bekommen wir direkt 1

T = ∂S

∂E

H

= ∂n

∂E

H

∂S

∂n = − 1 Hm

∂S

∂n

= N k B

2Hm 1

N log

1 + n N

− 1 N log

1 − n

N

+ 1 N − 1

N

= k B

2Hm log

N + n N − n

= − k B

2Hm log

N Hm + E N Hm − E

. (11)

Inversion liefert E = −N Hm tanh(βmH), with β = 1/(k B T ).

d) Betrachte zuerst ∂S

∂H

E

= ∂n

∂H

E

∂S

∂n = − E H ² m

∂S

∂n = Ek _B 2H ² m log

N Hm + E N Hm − E

. (12) Wir erhalten dann f¨ ur die Magnetisierung

M = T ∂S

∂H

E

= − E

H = N m tanh βmH). (13) Am Ende, f¨ ur k _B T Hm bekommen wir M = N ^Hm _k

B

T + O(T ⁰ ).

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