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4. Übungsblatt zur PDG I

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Academic year: 2022

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(1)

M. Geißert, R. Haller-Dintelmann, H. Heck

SS 2008 02.05.2007

4. Übungsblatt zur PDG I

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Neumann–Randbedingung)

Sei∅ 6= Ω⊆Rdoffen, beschränkt mit C1-Rand.

Seienaij ∈C1(Ω),1≤i, j≤dmitaij =ajiunda0∈C(Ω),a0(x)≥0für jedex∈Ω.

Wir setzen die Elliptizitätsbedingung voraus:

n

X

i,j=1

aij(x)ξiξj > α|ξ|2, ∀x∈Ω,∀ξ∈Rd,

für ein α > 0. Das Ziel ist das das folgende Problem, das so genannte Neumann–

Problem, zu lösen













d

X

i,j=1

i

aijju

+a0u =f inΩ

d

X

j=1

νiXd

i=1

aijju

=g auf ∂Ω.

(NP)

(a) Erfüllt die Funktion u∈C2(Ω)∩C1(Ω)(NP), so heißt u klassische Lösung von (NP). Eine Funktion u∈H1(Ω)heißt schwache Lösung von (NP), falls

a(ϕ, u) = Z

X

i,j

aijjϕ∂iu+ Z

a0ϕu=− Z

∂Ω

ϕg dσ+ Z

ϕf, ϕ∈H1(Ω).

Zeigen Sie, dass jede klassische Lösung auch eine schwache Lösung ist, und um- gekehrt ist eine schwache Lösungu∈C2(Ω)∩C1(Ω)immer auch eine klassische Lösung.

(2)

(b) Wir betrachten nun die homogene Randbedingung, d.h.g= 0. Beweisen Sie, dass eine eindeutige, schwache Lösungu∈H1(Ω)zu (NP) existiert, fallsa0(x)≥α0>

0. Ferner gibt es eine von f unabhängige KonstanteC, so dass die Lösung udie Abschätzung kukH1(Ω)≤CkfkL2(Ω) erfüllt.

Hinweis: Eine schwache Lösung existiert auch, falls aij ∈ L(Ω) und a0 ∈ L(Ω).

(c) Sei jetzt a0 = 0, g = 0 und R

f = 0 (und Ω zusammenhängend). Setze M :=

u ∈ H1(Ω) : R

u = 0 . Zeigen Sie die Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen von (NP) in M. Diese Lösungen sind bis auf Addi- tion einer Konstante eindeutig in H1(Ω) bestimmt. Zeigen Sie auch, dass eine schwache Lösung inH1(Ω)nur existieren kann, fallsR

f = 0 gilt.

(d) Angenommen, dass es überhaupt ein u0 ∈BC2(Ω)∩C1(Ω)gibt, das die Rand- bedingung in (NP) erfüllt, zeigen Sie, dass (NP) eine eindeutige schwache Lösung besitzt, falls die in (b) an die Koeffizienten gestellte Bedingungen erfüllt sind.

Hinweis: Die folgende Aussagen sind bekannt und können ohne Beweis verwendet werden.

(a) (Äußere Normale) Es existiert eine stetige Funktionν :∂Ω→Rd, so dass für jedes x ∈ ∂Ω der Vektor ν(x) = (ν1(x), . . . , νd(x)) der äußere Normalenvektor von ∂Ω in Punktx ist. Ferner gilt|ν(x)|= 1.

(b) (Randintegral) Für einf :∂Ω→Rist das Randintegral vonf definiert durch Z

∂Ω

f dσ,

wobeiσ das Oberfläche-Maß bezeichnet.

(c) (Gauß–Ostrogradsky-Theorem) Seiu∈C1(Ω). Dann gilt Z

∂u

∂xi

dx= Z

∂Ω

i dσ füri= 1, . . . , d.

(d) (Poincaré-Ungleichung) Es gilt:

kukL2(Ω)≤Ck∇ukL2(Ω), u∈M.

Lösung:

(a) Seiu∈C2(Ω)∩C1(Ω)eine klassische Lösung von (NP). Dann folgt mit partieller

(3)

Integration (vgl. Hinweis (c))

Z

ϕf =−

d

X

i,j=1

Z

ϕ∂i

aijju +

Z

ϕa0u

=

d

X

i,j=1

Z

iϕaijju−

d

X

i,j=1

Z

∂Ω

ϕνiaijjudσ+ Z

ϕa0u

=

d

X

i,j=1

Z

iϕaijju+ Z

∂Ω

ϕg dσ+ Z

ϕa0u, ϕ∈H1(Ω).

d.h. u ist ein schwache Lösung. Sei nun umgekehrt u ∈ C2(Ω)∩C1(Ω) eine schwache Lösung von (NP). Dann gilt für ϕ∈Cc(Ω)(Beachte: die Randterme fallen weg!):

d

X

i,j=1

Z

ϕ∂i(aijju) + Z

ϕa0u=a(ϕ, u) = Z

ϕf,

d.h. die erste Gleichung in (NP) ist fast überall erfüllt (im L2-Sinne). Ist f zusätzlich stetig, so folgt, dass die erste Gleichung in (NP) überall erfüllt ist. Für ϕ∈H1(Ω)erhalten wir nun:

d

X

i,j=1

Z

∂Ω

ϕ(g+νiaijju) dσ.

DaH1(Ω)|∂Ω dicht in L2(Ω)ist (ohne Beweis) folgt die Behauptung wie oben.

(b) Mit der Elliptizitätsbedingung folgt:

a(u, u)≥α Z

|∇u|20

Z

|u|2 ≥ckuk2H1(Ω),

d.h. die Form a ist koerziv auf H1(Ω). Da sie auch stetig ist und R

f ϕ ein stetiges lineares Funktional auf H1(Ω) mit kfkH1(Ω) ≤ kfkL2(Ω) ist, folgt die Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung von (NP) mit Lax-Milgram.

Des Weiteren gilt:

kukH1(Ω)≤ 1

ckfkH1(Ω) ≤ 1

ckfkL2(Ω).

(c) Wir betrachten a:M×M →R. Dann istakoierziv (vgl. Poincare Unlgeichung in Hinweis (d)). Die Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung in M folgt nun wie in (b). Beachte: ist f ∈L2(Ω), so gilt f =f−R

f inM.

(4)

Offenbar istu+K fürK ∈Rebenfalls eine schwache Lösung von (NP) inH1(Ω) (Wieso darf man mit ϕ∈H1(Ω)testen?).

Sei nun u ∈ H1(Ω) eine schwache Lösung von (NP). Dann ist u−R

u eben- falls eine schwache Lösung von (NP) und nach dem eben bewiesenen ist diese Eindeutig.

Setze ϕ≡1∈H1(Ω). Dann gilt

Z

1·f =

d

X

i,j=1

Z

aijju∂i1 = 0.

Daher ist R

f = 0einenotwendige Bedingung für die Existenz einer schwachen Lösung inH1(Ω).

(d) Wir setztenv =u−u0. Dann ist ueine schwache Lösung von (NP) genau dann, wenn v eine schwache Lösung von









d

P

i,j=1

i

aijjv

+a0v = f +

d

P

i,j=1

i

aijju0

−a0u0 in Ω

d

P

j=1

νi

Pd

i=1aijju

= 0 auf ∂Ω.

ist. Setze alsof˜=f+Pd i,j=1i

aijju0

−a0u0 und nutze obige Resultate.

Aufgabe G2

Sei ∅ 6= Ω ⊆ Rd ein beschränktes C1-Gebiet. Sei 1 ≤ p < ∞. Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) 1≤p < d=⇒ W1,p(Ω)֒→Lr(Ω)mit 1r = 1p1d (b) p=d=⇒ W1,p(Ω)֒→Lr(Ω)für alle r∈[p,∞)

(c) p > d=⇒ W1,p(Ω)֒→L(Ω) jeweils mit stetiger Einbettung.

Seip > dund θ= 1−dp. Dann existiert C:=CΩ,p,d mit

|f(x)−f(y)| ≤CkfkW1,p(Ω)|x−y|θ ∀f ∈W1,p(Ω).

Lösung: Betrachte den Fortsetzungsoperator F.

(a) Sei f ∈W1,p(Ω). Dann gilt wegen des Sobolev–Einbettungsatzes für W1,p(Rd) kfkLr(Ω)≤ kF fkLr(Rd) ≤CkF fkW1,p(Rd)≤CCkfkW1,p(Ω).

(b) Genau wie in (a).

(5)

(c) Seix, y∈Ω. Es gilt

|f(x)−f(y)|=|(F f)(x)−(F f)(y)| ≤CkF fkW1,p(Rd)|x−y|θ≤CCkfkW1,p(Ω)|x−y|θ.

Aufgabe G3

Seim∈N(m≥1) und 1≤p <∞. Die folgende Aussagen sind zu beweisen:

(a) 1pmd = 0 =⇒ Wm,p(Rd)֒→Lr(Rd) für alle r∈[d,∞) (b) 1pmd <0 =⇒ Wm,p(Rd)֒→L(Rd)

jeweils mit stetiger Einbettung.

(a) Sei 1pmd <0,m−d/p6∈N. Setze k:=

m−dp

und θ:=m− dp−k, 0< θ <1.

Dann existiert eine KonstanteC, so dass für jedef ∈Wm,p(Rd) gilt kDαfkL ≤CkfkWm,p für alle |α| ≤k

|Dαf(x)−Dαf(y)| ≤CkfkWm,p|x−y|θ für fast alle x, y∈Rd,|α|=k.

Lösung: Wir benutzen die bekannte Einbettungssätze für W1,p(Rd).

(a) Seim∈N,m≥2.u∈Wm,p(Rd), d.h. Dαu∈Lp(Rd)für|α| ≤m. Seir∈[d,∞) beliebig und setze rm =p, dann gilt füri= 2, . . . , m

kDαukLri1(Rd)≤CikDβukW1,ri(Rd) falls|β|=|α|+ 1 =iund r1

i1 = r1

i1d, mit Konstanten Ci und füri= 1und r1 =d

kukLr(Rd)≤C1kukW1,r1(Rd). Also

kukLr(Rd)≤CkukWm,p(Rd) falls0 = r1

11d = r1

21d1d =· · ·= r1

mmd = 1pmd. (b) Sei 0≤n < m, so dass 1pn+1d <0 und p1 := 1pnd ≥0. Dann gilt

Wn,p(Rd)֒→Lp(Rd),

mit stetiger Einbettung, und wie vorher

Wn+1,p(Rd)֒→W1,p(Rd),

auch mit stetiger Einbettung. Schließlich sind die Einbettungen Wm,p(Rd)֒→Wn+1,p(Rd)֒→W1,p(Rd)֒→L(Rd) auch stetig (für die letzen Ungleichung bemerke, dass p11d <0).

(c) Man beweist mit Induktion und ähnlich zu (b).

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