Computergest¨ utztes wissenschaftliches Rechnen SS 2007
Ubungsblatt 4 ¨ Georg-August-Universit¨ at G¨ ottingen
Institut f¨ ur Theoretische Physik
PD Dr. A. Honecker, S. Fuchs, J. Lampe
2
1 N−1 N
−1 N
N
2 1
/2 /2
−L L
/2
−L /2 L
Aufgabe 1
Wir betrachten die Laplace-Gleichung∆ Φ = 0auf einem Quadrat der Gr¨oßeL×L. Das Potential sei auf dem Rand vorgegeben (Dirichletsche Randbedingungen). Zur Diskretisierung verwenden wir das oben skizzierte Gitter.
Schreiben Sie ein Programm, das das allgemeine Randwertproblem (d.h. beliebig vorgegebene Werte vonΦauf dem Rand) mit dem Jacobi-Verfahren f¨ur dieN×N inneren Gitterpunkte l¨ost ! Bemerkungen:
i. Zur grafischen Darstellung ist es n¨utzlich, das Ergebnis f¨ur Φ in eine Datei auszugeben.
ii. Sie k¨onnen ferner folgende Visualisierung (z.B. in Java) verwenden: Wenn Sie ein Fenster mit (mindestens) N ×N Bildpunkten ¨offnen, k¨onnen die Funktionswerte Φuber die Bild-¨ punkte dargestellt werden. Am einfachsten ist die Verwendung von Graustufen, z.B. weiß f¨ur Φ≥Φmax und schwarz f¨ur Φ≤Φmin, wobei Φmax bzw. Φmin der maximale bzw. mini- male Wert der vorgegebenen Randbedingungen sind (die korrekte L¨osung sollte im Bereich Φmin≤Φ(x, y)≤Φmax liegen).
Aktualisieren Sie die Ausgabe nach jeder Jacobi-Iteration ! So k¨onnen Sie z.B. in der n¨achs- ten Aufgabe sehen, wie sich der Stoff von der
”Erde“ (Φ = 0) ¨uber das Dach
”spannt“.
1
Aufgabe 2
Ein Architekt gebe zur ¨Uberdachung des Quadrats
−π
2 ≤x≤ π
2 , −π
2 ≤y≤ π 2 (L=π) mit Hilfe von B¨ogen am Rand die H¨ohe
Φ
x=±π 2, y
= cos(y), Φ
x, y =±π 2
= cos(x) vor (siehe Skizze rechts).
π/4 π/2 -π/4 0
-π/2
π/4π/2 -π/40 -π/2 1
0.8 0.6 0.4 0.2 0
x
y
a. Berechnen Sie mit Hilfe des Programms aus Aufgabe 1 wie das mit Stoff bespannte Dach aussieht, wenn Sie Diskretisierungen mit N = 11,21,41, . . . verwenden ! Starten Sie im Inneren mit Φ (~x~r) = 0 ! Wie oft m¨ussen Sie das Jacobi-Verfahren durchlaufen, um eine Genauigkeit von δΦ = 10−5 zu erreichen ?
b. Untersuchen Sie, wie SieN undδΦw¨ahlen m¨ussen, damit die Abweichung von der exakten L¨osung
Φ (x, y) = 1
cosh(π/2)(cos(x) cosh(y) + cosh(x) cos(y)) (1) kleiner als 10−4 wird !
Aufgabe 3
(optional)Wir betrachten nun ein Quadrat der Gr¨oßeL= 2. Der Rand ist bei x=±L/2 =±1 geerdet (Φ = 0) und beiy =±L/2 =±1 sei ein Potential Φ(x,±1) = Φ0 = 1 vorgegeben.
Berechnen Sie Φ(~x~r) mit Hilfe des Programms aus Aufgabe 1 ! Starten Sie im Inneren mit Φ (~x~r) = Φ0/2 = 1/2und betrachten Sie die F¨alle N = 11,25,51!
Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse f¨ur die verschiedenenN und diskutieren Sie das Verhalten an den Ecken, wobei Sie Φ als elektrostatisches Potential interpretieren sollten !
2
