J. Wengenroth Wintersemester 2014/15 29.10.2014
Maß- und Integrationstheorie Blatt 1
Besprechung der Aufgaben in den Übungen am 4. und 6. November
A 1
Seien Ω eine Menge und J ein nicht leeres System von Teilmengen von Ω mit folgenden Eigenschaften
(1) A∈J undB ⊆A=⇒B ∈J, (2) S
n∈N
An∈J für alle FolgenAn∈J.
Zeigen Sieσ(J) ={A⊆Ω :A∈J oder Ac∈J}.
A 2
Bestimmen SieσR(E) für E ={{x}:x∈R}.
A 3
SeienA eine σ-Algebra überΩund M ⊆Ω.
(a) Zeigen Sie, dassAM ={A∩M :A∈A}eine σ-Algebra überM ist.
(b) Zeigen Sie, dassAM ⊆A genau dann gilt, wennM ∈A. (c) Für M ⊆Ω ist die Abbildung
Φ :A →AM ×AMc, A7→(A∩M, A∩Mc) genau dann bijektiv, wennM ∈A.
(d) Für jede endlicheσ-AlgebraA gibt es einn∈N0, so dassA genau2n Elemente hat.
A 4
Sei{Mj :j ∈N} eine Zerlegung von Ω, das heißt Mj 6=∅, Ω = S
j∈N
Mj und Mj∩Mk =∅ für allej6=k.
Zeigen Sieσ({Mj :j∈N}) = (
S
j∈J
Mj :J ⊆N )
. A 5
Für einen Messraum (Ω,A) und x ∈ Ω sei Mx =T
{A ∈ A :x ∈ A} ={z ∈Ω : für alle A∈A mit x∈A giltz∈A}
(a) Fürx, z∈Ωgiltz∈Mx ⇐⇒x∈Mz.
(b) Für allex, y∈Ωgilt entwederMx =My oderMx∩My. (c) Für alle A∈A giltA= S
x∈A
Mx.
(d) Es gibt keine unendliche abzählbareσ-Algebra.
Hinweis zu (d): Wegen (c) gibt es unendlich viele verschiedeneMx. Ist{xn:n∈N}eine Folge mit verschiedenen (also disjunkten) Mxn, so zeige man, dass die Abbildung P(N) → A, N 7→ S
n∈N
Mxn injektiv ist.
