10. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

Prof. Dr. U. Faigle SS 2005 B. Fuchs

10. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

Abgabe bis sp¨atestens Dienstag, 5. Juli um 10:05 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek

Aufgabe 1 Sei der Graph G = (V, E) mit E = V ×V und einer nichtnegativen Kan- tenbewertung c:E →R₊ gegeben. Wir halten einen Knoten r∈V fest und konstruieren Mengen U und Potentiale y_v nach folgendem Prinzip (

”Algorithmus von Dijkstra“):

Beginne mit U = {r}, y_r = 0 und y_v = c_rv f¨ur alle Knoten v 6= r. Der Iterationsschritt w¨ahlt ein v ∈V \U mit minimalem momentanem Potential y_v und datiert auf:

U ←U ∪ {v} und y_w ←min{y_w, y_v +c_vw} f¨ur alle w∈V \U.

Zeigen Sie: Nach jedem Iterationsschritt gibt yw die L¨ange eines k¨urzesten gerichteten (r, w)-Weges an, der nur Zwischenknoten aus dem jeweiligen U benutzt.

Aufgabe 2 Sei G= (V, E) ein gerichteter Graph mit einer Kantenbewertungc:E →R.

Wir wollen feststellen, ob G einen negativen gerichteten Kreis enth¨alt. Dies k¨onnen wir sicher in endlicher Zeit schaffen, indem wir alle m¨oglichen Teilmengen von Kanten daraufhin untersuchen, ob sie einen solchen Kreis bilden.

K¨onnen Sie ein effizienteres Verfahren entwickeln?

Aufgabe 3 Sie verwalten ein Projekt, das aus den Unteraufgabenj₁, . . . , j_nbesteht. Zwi- schen je zwei Aufgabenjiundjkbesteht m¨oglicherweise eine Pr¨azedenzrelationji ≺jk. Das bedeutet, dassj_k erst begonnen werden kann, wenn j_i beendet ist. Die Bearbeitungszeiten p_i aller Unteraufgaben j_i sind bekannt.

Formulieren Sie die Aufgabe, das Projekt m¨oglichst schnell abzuschließen, als ein K¨urzeste- Wege-Problem in einem geeigneten Graphen.

Aufgabe 4 Gegeben sei eine endliche MengeSund ein System von TeilmengenA₁, . . . , A_n⊆ S. Gesucht ist eine Teilmenge {a1, . . . , an} ⊆ S mit ai ∈ Ai (und nat¨urlich ai 6= aj f¨ur i6=j).

F¨uhren Sie das Problem auf die Aufgabe zur¨uck, einen maximalen Fluss in einem geeigneten Graphen zu berechnen.

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