Lehrstuhl für Informatik 7 WS 2014/15
Prof. Dr. Wolfgang Thomas 14.1.2014
Kamal Al-Bawani, Sascha Geulen,
Oliver Göbel, Benjamin Ries, Lisa Wagner
Übung zur Vorlesung
Berechenbarkeit und Komplexität
Blatt 11
Aufgabe 11.1 (1+1+1.5+0.5 Punkte)
(a) Zeigen Sie, jeweils mit Hilfe eines Polynomialzeitverifizierers, dass die folgenden Entscheidungsprobleme in NP sind. Beschreiben Sie dazu im Detail die Kodierung und die Länge des Zertifikats, sowie die Arbeitsweise und die Laufzeit des Verifizie- rers.
• MaximumSpanningTree={(G, c)|c∈N, G ist ein gewichteter Graph und hat einen Spannbaum mit Kosten≥c}
• Composite={w∈ {0,1}∗ |wist binäre Kodierung einer Zahl k ∈N und k ist keine Primzahl}
• Graphisomorphie={G1#G2 |G1, G2 sind Kodierungen von Graphen und G1 ist isomorph zu G2}
Zwei GraphenG1 = (V1, E1) und G2 = (V2, E2) sind isomorph, falls es eine bi- jektive Abbildung f :V1 →V2 gibt, so dass (vi, vj)∈E1 ⇔(f(vi), f(vj))∈E2 gilt.
(b) Für welche dieser Probleme kennen Sie einen (deterministischen) Polynomzeitalgo- rithmus?
Aufgabe 11.2
(a) Zeigen Sie, dass Color(2) in P liegt. Lösen Sie dafür zunächst Color(2) für die folgenden zwei Beispielgraphen.
1 2
3 4
5 6 7
1 2
3 4
5 6 7
(b) Wir betrachten das ProblemClique(k):
Clique(k)
Eingabe: Ein ungerichteter Graph G= (V, E)
Ausgabe: Ja, gdw. es eine Clique mitk Knoten inG gibt.
Zeigen Sie, dass für jedes k das ProblemClique(k) zuP gehört.
— bitte wenden —
Aufgabe 11.3
Wir betrachten das folgende Entscheidungsproblem.
2Sat
Eingabe: Eine Formel ϕin 2KNF, d.h. jede Klausel besteht aus 2 Literalen.
Ausgabe: Ja, gdw.ϕ erfüllbar ist.
(a) Betrachten Sie die Frage zunächst für folgende Beispielformeln:
• (x1 ∨x2)∧(x1∨x3)∧(x2∨x3)∧(x3 ∨x1)∧(x2∨x1)
• (x1 ∨x2)∧(x1∨x3)∧(x2∨x3)∧(x3 ∨x1)∧(x2∨x1)
Es ist dazu nützlich, für alle Klauselnl1∨l2 die beiden dazu äquivalenten Implika- tionenl1 →l2 und l2 →l1.
(b) Geben Sie eine allgemeinen Polynomzeitalgorithmus an für eine Formelϕ mit den Variablenx1, . . . , xn. Man konstruiere dazu den folgenden gerichteten GraphenG= (V, E): Die Knotenmenge ist V ={x1, . . . , xn,x¯1, . . . ,x¯n} und die Kantenmenge E erhalten wir indem wir für jede Klausel C = (l1 ∨l2) die Kanten l¯1 → l2 sowie l¯2 →l1 einfügen.
Abgabe bis Mittwoch, den 21.01.2015 um 14.00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl für Informatik 1
