Blatt10 BerechenbarkeitundKomplexität ÜbungzurVorlesung

Lehrstuhl für Informatik 1 WS 2013/14

Prof. Dr. Berthold Vöcking 16.01.2014

Kamal Al-Bawani Benjamin Ries

Übung zur Vorlesung

Berechenbarkeit und Komplexität

Blatt 10

Aufgabe 10.1

Wir betrachten das folgende Entscheidungsproblem.

2Sat

Eingabe: Eine Formel ϕin 2KNF, d.h. jede Klausel besteht aus 2 Literalen.

Ausgabe: Ja, gdw.ϕ erfüllbar ist.

Zeige, dass 2Sat in polynomieller Zeit entscheidbar ist.

Hinweis: Seienx1, . . . , xndie Variablen der Formelϕ. Es ist hilfreich folgenden gerichteten Graphen G = (V, E) zu betrachten. Die Knotenmenge ist V = {x₁, . . . , x_n,x¯₁, . . . ,x¯_n} und die KantenmengeE erhalten wir indem wir für jede KlauselC = (l₁∨l₂)die Kanten l¯1 →l2 sowiel¯2 →l1 einfügen.

Aufgabe 10.2

Wir betrachten das folgende Erfüllbarkeitsproblem.

Not-all-equal-SAT

Eingabe: Aussagenlogische Formelφ in 3KNF.

Frage: Gibt es eine erfüllende Belegung, so dass in jeder Klausel mindestens ein wahres und ein falsches Literal vorkommt?

Zeige durch polynomielle Reduktion (a) 3SAT ≤_p Not-all-equal-SAT

(b) Beweise, dass Not-all-equal-SAT auch dann noch NP-vollständig ist, wenn in den einzelnen Klauseln nur positive Literale (also keine negierten Variablen) ver- wendet werden dürfen.

— bitte wenden —

Aufgabe 10.3 (4 Punkte) Das Makespan-Scheduling Problem ist das folgende Optimierungsproblem:

Makespan-Scheduling

Eingabe: n Jobs mit Laufzeiten p₁, . . . , p_n,m Maschinen.

zulässige Lösungen: Jede Zuteilung s : {1, . . . , n} → {1, . . . , m} der Jobs auf die Maschinen.

Zielfunktion: Minimiere den Makespan, d.h. minimiere max1≤i≤mP

j:s(j)=ip_j.

Beschreibe eine polynomielle Reduktion vonSubsetSumauf die Entscheidungsvariante von Makespan-Scheduling und beweise ihre Korrektheit.

Abgabe bis Donnerstags, den 23.01.2014 um 9.00 Uhr

im Sammelkasten am Lehrstuhl oder in der Vorlesung.