Lehrstuhl für Informatik 7 WS 2014/15
Prof. Dr. Wolfgang Thomas 21.01.2015
Kamal Al-Bawani, Sascha Geulen,
Oliver Göbel, Benjamin Ries, Lisa Wagner
Übung zur Vorlesung
Berechenbarkeit und Komplexität
Blatt 12
Aufgabe 12.1
Wir betrachten das folgende Erfüllbarkeitsproblem.
Not-all-equal-SAT
Eingabe: Aussagenlogische Formelφ in 3KNF.
Frage: Gibt es eine erfüllende Belegung, so dass in jeder Klausel mindestens ein wahres und ein falsches Literal vorkommt?
Zeigen Sie durch polynomielle Reduktion: 3SAT ≤p Not-all-equal-SAT Tipp: Benutzen Sie Hilfsvariablen.
Aufgabe 12.2 (4 Punkte)
Wir betrachten die folgenden Entscheidungsprobleme.
IndependentSet
Eingabe: Ein Graph G= (V, E) und eine Zahl k ∈N.
Frage: Gibt es eine Knotenmenge K ⊆V mit|K| ≥k, so dass es inE keine Kanten zwischen den Knoten aus K gibt?
Clique
Eingabe: Ein Graph G= (V, E) und eine Zahl k ∈N.
Frage: Gibt es eine Knotenmenge K ⊆V mit|K| ≥k, so dass der vonK induzierte Subgraph vollständig ist (die MengeK bildet eine k-Clique)?
Zeigen Sie durch polynomielle Reduktion: Clique≤p IndependentSet
Es genügt, die Transformation der Instanzen auf der Ebene der Graphen durchzuführen.
Eine explizite Angabe der Kodierung ist nicht notwendig.
— bitte wenden —
Aufgabe 12.3
Wir betrachten das folgende Entscheidungsproblem.
DominatingSet
Eingabe: Ein Graph G= (V, E) und eine Zahl k ∈N.
Frage: Gibt es eine Knotenmenge D ⊆ V mit |D| ≤ k, so dass für jeden Knoten v ∈V \D eine Kante (v, w)∈E zu einem Knotenw∈D existiert.
Zeigen Sie durch eine polynomielle Reduktion von 3SAT, dass das DominatingSet- Problem NP-schwer ist.
(Tipp: Eine mögliche Konstruktion nutzt für jede Variablexi drei Knotenxi,¬xi, x0i, die ein Dreieck bilden, sowie einen weiteren Knoten für jede Klausel Cj. )
Abgabe bis Mittwoch, den 28.01.2015 um 14.00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl für Informatik 1
