28. September 2020
Bitte leserlich in Druckbuchstaben ausf¨ ullen!
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MATRIKELNUMMER:
ERLAUBT: nur die Formelsammlung des Instituts!
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Aufgabe max. Punkte erreichte Punkte
1 11
2 12
3 11
4 14
5 12
Summe 60
Note:
1. In der Grundmenge G={−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5} sind folgende Teilmengen gegeben:
A={x∈G |x ungerade} B ={x∈G| |x| ≥2} C ={−3,−2,2,3}
a) (4 Punkte) Bestimmen Sie A∩B sowieA∆C.
b) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Menge (A\C)×(B\C) und stellen Sie diese Menge in einer geeigneten Form graphisch dar!
c) (3 Punkte) Welche Menge D ist durch folgende Eigenschaften bestimmt:
|D|= 3 D∪B=B D⊂A Ausf¨uhrung Beispiel 1:
a) A∩B={−1,1} ,A∆C ={−2,−1,1,2,5}
b) {(0,4); (0,5); (4,4); (4,5)}
c) D={−3,3,5}
2. (12 Punkte) Gegeben sind die MatrixA und der Vektorb:
A=
1 2 −1
2 7 −4
1 5 6−a2
, b=
−3
−4 a+ 2
.
a) Bestimmen Sie alle a ∈ R f¨ur die das lineare Gleichungssystem Ax = b unendlich viele L¨osungen besitzt.
b) Bestimmen Sie allea∈Rf¨ur die das lineare GleichungssystemAx=bgenau eine L¨osung besitzt.
c) Bestimmen Sie f¨ura=−3 alle L¨osungen des linearen Gleichungssystems Ax=b.
Ausf¨uhrung Beispiel 2:
a) a=−3 b) a6=±3
c) z. B.:
x y z
=
−133
2 3
0
+t·
−13
2 3
1
3. a) (3 Punkte) Stellen Sie die unendliche Reihe 4 + 2 + 1 + 12 + 14 + 18 +. . . mit Hilfe eines Summenzeichens dar und geben Sie - wenn m¨oglich - die Summe der Reihe an.
b) (Unabh¨angig von a)) Gegeben ist die Folge (an)n∈N mit an= 2n
3n−1
i. (5 Punkte) Formulieren Sie eine Vermutung ¨uber die Monotonie der Folge und bewei- sen Sie diese!
ii. (3 Punkte) Zeigen Sie, dass 107 keine untere Schranke ist!
Ausf¨uhrung Beispiel 3:
a) P∞
i=1
8·12i oder P∞
i=0
4·12i;S∞= 8
b)
i. a1 = 1; a2 = 45;a3 = 34; a4 = 118; an st. m. fallend, nach oben durch z. B. 1 und nach unten durch z. B. 0 beschr¨ankt, somit konvergent. Grenzwert w¨are 23.
ii. an> 107 ⇒n <7 gilt nur f¨ur die ersten 6 nat¨urlichen Zahlen.
4. Gegeben ist die Funktion
f(x) =x·p4−a·x2 mit a >0.
a) (6 Punkte) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich und alle Nullstellen in Abh¨angig- keit von aan!
Setzen Sie f¨ur die folgenden Aufgabena= 12:
b) (6 Punkte) Berechnen Sie die erste Ableitung vonf und l¨osen Sie die Gleichungf0(x) = 0.
c) (2 Punkte) Ist die Funktion f an der Stelle x = 0 monoton wachsend oder fallend? Be- gr¨unden Sie Ihre Antwort!
Ausf¨uhrung Beispiel 4:
a) D=h−2√a,√2ai; Nullstellen:x1= 0,x2= √2a und x3 = √−2a. b)
f0(x) = s
4− x2
2 − x2 2·q4−x22
f0(x) = 0⇒
s 4−x2
2 = x2 2·q4− x22
⇐⇒ 2 4− x2 2
!
=x2
L¨osungen: x1= 2 und x2 =−2.
5. Gegeben ist die Funktion
f(x, y) = 4xe12xy−1+ ln xy2 2
!
a) (2 Punkte) Bestimmen Sie den gr¨oßtm¨oglichen Definitionsbereich.
b) (7 Punkte) Bestimmen Sie die ersten partiellen Ableitungen an der Stelle (2,1).
c) (3 Punkte) Um wie viele Einheiten ¨andert sich der Funktionswert n¨aherungsweise, wenn man ausgehend von der Stelle (2, 1) um eine Einheit in Richtung z= −8
6
! geht?
Ausf¨uhrung Beispiel 5:
a) D=R++×R\{0}
b) fx(x, y) = 2exy2−1·(2 +xy) + 1x;fy(x, y) = 2x2exy2−1+ 2y;fx(2,1) = 172;fy(2,1) = 10 c) um n¨aherungsweise−45 also −0,8 Einheiten.
