28. August 2020
Bitte leserlich in Druckbuchstaben ausf¨ ullen!
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MATRIKELNUMMER:
ERLAUBT: nur die Formelsammlung des Instituts!
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Aufgabe max. Punkte erreichte Punkte
1 12
2 14
3 12
4 12
5 10
Summe 60
Note:
1. Gegeben sind die Mengen A, B, C und D:
A = (x, y) ∈ R
2|(x ≥ 0) ∧ (y < 0) ∧ (x − y < 2) B = (x, y) ∈ R
2(x ≥ 0) ∧ (y ≥ 0) ∧ y ≤ 4 − x
2C = n (x, y) ∈ R
2(x − 1)
2+ (y − 2)
2= 1 o D = (x, y) ∈ R
2|y = −x + 4
a) (6 Punkte) Skizzieren Sie im Koordinatensystem a) die Menge A ∪ B b) (3 Punkte) Skizzieren Sie im Koordinatensystem b) die Mengen C und D.
c) (3 Punkte) Bestimmen Sie nun C ∩ D durch Rechnung und geben Sie das Ergebnis in Mengenschreibweise an! Hinweis: einsetzen!
Ausf¨ uhrung Beispiel 1:
a)
x y
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
b)
x y
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
a)
x y
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
b)
x y
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
c) L = {(1, 3) ; (2, 2)}
2. a) (5 Punkte) Gegeben ist die Matrix
A =
k
2−3 0 k − 4 3 1
0 3 k
F¨ ur welche k ∈ R ist das Gleichungssystem A · x = 0 eindeutig l¨ osbar?
b) (4 Punkte) Bestimmen Sie alle L¨ osungen des folgenden linearen Gleichungssystems:
3x + y + 5z = 10
x − y − z = 2
c) (5 Punkte) Gegeben ist eine 2 × 2 Matrix D = (d
ij) mit
d
ij=
i + j f¨ ur i < j (−1)
i+ 2
jf¨ ur i = j i · j f¨ ur i > j.
Bestimmen Sie D
−1.
Ausf¨ uhrung Beispiel 2:
a) k ∈ R \ {0, ±2}
b)
x y z
=
3 1 0
+ t ·
−1
−2 1
, t ∈ R
c) D
−1= −5 3 2 −1
!
3. a) (6 Punkte) Der Dachdecker Dagobert Ziegler deckt die Nordseite eines Hausdaches ein.
Er beginnt an der Traufe und verwendet 99 Ziegel f¨ ur die erste Reihe. Da sich das Dach nach oben hin verj¨ ungt, ben¨ otigt er in jeder weiteren Reihe zwei Ziegel pro Reihe weniger.
Insgesamt legt er 1.600 Ziegel.
i. Wie viele Reihen hat die Dachseite?
ii. Wie viele Ziegel legt er in der letzten Reihe, also direkt unter dem First?
b) (6 Punkte) (Unabh¨ angig von a)) Aufgrund von Zahlungsschwierigkeiten des Bauherrn bekommt Dagobert Ziegler seine Arbeiten in drei Raten mit j¨ ahrlich je 6.400 Euro bezahlt, beginnend sofort nach Fertigstellung der Arbeiten (t = 0). Die dritte Zahlung erfolgt somit zum Zeitpunkt t = 2. Er legt das Geld jeweils unmittelbar nach Erhalt bei der Pleitebank M. mit dem vielversprechenden Zinssatz von 25 % p.a. an. Nach dem dritten Jahr (t = 3) beantragt die Bank Insolvenz. Mit welcher Forderung wendet sich Dagobert Ziegler an die Einlagensicherung?
Fertigen Sie f¨ ur die L¨ osung der Aufgabe eine graphische Darstellung der Zahlungsstr¨ ome an und l¨ osen Sie dann die Aufgabe. Das Anschreiben einer Formel alleine gen¨ ugt nicht!
Hinweis: Verwenden Sie f¨ ur die Berechnungen Bruchschreibweise!
Ausf¨ uhrung Beispiel 3:
a)
i. 20
ii. 61
b) 30.500.-
4. Zwischen dem Verkaufspreis p einer Ware und der abgesetzten Menge x besteht ein ann¨ ahernd linearer Zusammenhang, der durch die Gleichung 3x + 2p = 60 beschrieben werden kann.
a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Preis-Absatz-Funktion und skizzieren Sie diese in nachste- hendem Koordinatensystem. Beschriften Sie die Achsen mit passenden Werten!
b) (2 Punkt) Wie viele St¨ ucke w¨ urden nachgefragt, wenn die Ware gratis angeboten wird?
Bei welchem St¨ uckpreis w¨ urde keine Nachfrage vorliegen?
c) (4 Punkte) Ermitteln Sie die Erl¨ osfunktion E (x). Wie viele St¨ ucke m¨ ussen verkauft wer- den, damit der Erl¨ os 126.- betr¨ agt?
d) (4 Punkte) Wie viele St¨ ucke m¨ ussen verkauft werden, damit sich der gr¨ oßtm¨ ogliche Erl¨ os ergibt? Zeigen Sie, dass es sich tats¨ achlich um ein Maximum handelt! Zu welchem Preis l¨ asst sich diese Menge am Markt absetzen?
Ausf¨ uhrung Beispiel 4:
x
p(x)
a)
x p(x)
-10 0 10 20 30 40
0 10 20 30 40
b) x = 20; p = 30 c) 6, 14
d) 10, p(10) = 15
5. Eine von den Produktionsfaktoren A und K abh¨ angige Produktionsfunktion ist gegeben durch f (A, K) =
3√
64 · A
2· K
a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass es sich um eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion handelt.
b) (2 Punkte) Bestimmen Sie den Homogenit¨ atsgrad.
c) (2 Punkte) Welche prozentuale Erh¨ ohung des Produktionsergebnisses ist zu erwarten, wenn der Faktor A um 3 % erh¨ oht wird und der Faktor K unver¨ andert bleibt?
d) (4 Punkte) Die derzeitigen Faktoreinsatzmengen betragen A = 27 und K = 81. Wie viele Einheiten von K muss man n¨ aherungsweise zus¨ atzlich einsetzen, um eine Einheit von A zu ersetzen, wenn das Produktionsniveau dabei unver¨ andert bleiben soll?
Ausf¨ uhrung Beispiel 5:
a) f (A, K) = √
364 · A
2· K = 4 · A
23· K
13b) homogen vom Grad 1
c) ε
A=
23; damit 2%
d) Grenzrate der Substitution:
” Kapital f¨ ur Arbeit“ r
KA=
ffAK
