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Institut f¨ ur Mathematik Sommersemester 2015 Martin Slowik

1. Klausur zur ,,Mathematik II f¨ ur ¨ Okonomen”

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Wichtige Hinweise:

• Als Hilfsmittel ist nur ein handbeschriebenes DIN A4 Blatt sowie ein nichtprogrammierbarer Taschenrechner zugelassen!

• Dieses Deckblatt ist vollst¨ andig ausgef¨ ullt zusammen mit den L¨ osungen abzu- geben. Jedes abgegebene Blatt ist zudem mit Namen und Matrikelnummer zu versehen.

• Geben Sie bitte alle beschriebenen Bl¨ atter, inklusive Ihrer Schmierzettel und Ihres Formelblattes ab.

• F¨ ur die Bearbeitung der Klausur haben Sie 100 Minuten Zeit.

• Geben Sie immer einen vollst¨ andigen und kommentierten Rechenweg an!

• Bitte den Studentenausweis und einen amtlichen Lichtbildausweis bereithalten!

• Nicht angemeldete Klausuren k¨ onnen nicht korrigiert werden!

• Mit Bleistift oder Rotstift geschriebene Klausuren k¨ onnen nicht gewertet wer- den.

Viel Erfolg!

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Aufgabe 1 2 3 4 Summe Note

Punkte

1

2

1. (Integration von Funktionen) [25 Pkt]

a) Was sagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aus?

Seien F, G zwei verschiedene Stammfunktionen von f. Was wissen Sie ¨ uber die Ableitung der Funktion H = F − G? (kurze Begr¨ undung)

Geben Sie ein stetige Funktion an (ohne Begr¨ undung), die nicht identisch Null ist, deren Integral ¨ uber das Intervall [−1, 1] aber gleich Null ist.

b) Bestimmen Sie die folgenden Stammfunktionen mittels geeigneter Substitution oder partieller Integration.

i)

Z

x

· e

dx ii)

Z

2x sin(x

) dx

c) Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels geeigneter Substitution oder par- tieller Integration.

i)

Z

√ x

4 − x

dx ii)

Z

√ 1

x · ln x dx

2. (Differentialgleichungen) [25 Pkt]

a) Was versteht man einer homogenen bzw. inhomogenen, linearen Differential- gleichung erster Ordnung (Definition).

Betrachten Sie die Differentialgleichung y

= g(x)h(y), wobei die Funktion g nicht identisch Null ist. Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine Funktion h an (ohne Begr¨ undung), so dass

i) die Funktion h nicht identisch Null ist und

ii) die Funktion y : I ⊂ R → R , y(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ I eine L¨ osung der DGL y

= g(x)h(y) ist.

b) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion

r(x) = 1

x

+ 8x + 15 . c) Betrachten Sie nun das Anfangswertproblem

y

= 2y

x

+ 8x + 15 , y(0) = 3 5 .

Um welche Art von Differentialgleichung handelt es sich in diesem Beispiel.

Bestimmen Sie die L¨ osung y : [0, ∞) → (0, ∞) dieses Anfangswertproblems.

3

3. (Lineare Unabh¨ angigkeit und Skalarprodukt) [25 Pkt]

a) Was versteht man unter der lineare Unabh¨ angigkeit der Vektoren ~ v

, . . . , ~ v

. Seien ~ v

, ~ v

∈ R

zwei linear unabh¨ angige Vektoren. Finden Sie ein Beispiel f¨ ur eine Matrix A ∈ M (2 × 2, R ) (ohne Begr¨ undung), so dass die Vektoren

~

w

= A · ~ v

und w ~

= A · ~ v

ebenfalls linear unabh¨ angig sind.

b) Gegeben seien die folgenden Vektoren im R

~ v

= (1, 2, 0, 3), ~ v

= (3, 1, −5, 4), ~ v

= (−1, 1, 4, 0).

Zeigen Sie, dass die Vektoren ~ v

, ~ v

, ~ v

linear unabh¨ angig sind.

Welche Dimension hat der Untervektorraum U = span{~ v

, ~ v

, ~ v

}?

c) Betrachten Sie nun die Vektoren w ~

f¨ ur i ∈ {1, . . . , 4}, die gegeben sind durch

~

w

= 2~ v

+ ~ v

, w ~

= ~ v

+ 2~ v

+ ~ v

, w ~

= ~ v

− ~ v

, w ~

= ~ v

+ 2~ v

. Zeigen Sie, dass die Vektoren w ~

, ~ w

, ~ w

, ~ w

linear abh¨ angig sind.

Hinweis: Der Gaußalgorithmus wie auch Determinanten sind zur L¨ osung dieser Aufgabe nicht notwendig!

d) Berechnen Sie das Skalarprodukt (~ v

+ ~ e

) · ~ v

sowie jeweils den Betrag der Vektoren ~ v

+~ e

und ~ v

, wobei mit ~ e

, . . . ~ e

die Vektoren der kanonischen Basis des R

bezeichnet werden.

Bestimmen Sie anschließend den Winkel zwischen ~ v

+ ~ e

und ~ v

.

4. (Matrizen) [25 Pkt]

Gegeben seien f¨ ur t ∈ R die folgenden beiden Matrizen A

=





1 2 0 2 2 1 0 2 t



 und B

=





2 − 2t 2t −2

2t −t 1

−4 2 2



 .

a) Was versteht man unter dem Rang einer Matrix (Definition).

Geben Sie ein notwendiges und hinreichendes Kriterium f¨ ur die Invertierbarkeit einer Matrix B ∈ M (n × n, R ) an.

Geben Sie ein Beispiel f¨ ur zwei Matrizen C, D ∈ M (2 × 2, R ) an (ohne Be- gr¨ undung), die die Eigenschaft haben, dass

rang C = rang D = 1 und rang(C · D) = 0.

b) Bestimmen Sie den Rang der Matrix A

in Abh¨ angigkeit von t.

F¨ ur welche Werte t ist die Matrix A

invertierbar?

c) Berechnen Sie das Matrixprodukt A

· B

.

d) Bestimmen Sie f¨ ur t = 0 und ~b = (0, 1, 2) die L¨ osung des linearen Gleichungs- systems

A

· ~ x = ~b.

4