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Institut f¨ ur Mathematik Sommersemester 2016 Albrecht G¨ undel-vom Hofe Martin Slowik

1. Klausur zur ,,Differentialgleichungen f¨ ur Ing.”

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Wichtige Hinweise:

• Als Hilfsmittel ist ein handbeschriebenes DIN A4 Blatt zugelassen!

• Dieses Deckblatt ist vollst¨ andig ausgef¨ ullt zusammen mit den L¨ osungen abzu- geben. Jedes abgegebene Blatt ist zudem mit Namen und Matrikelnummer zu versehen.

• Geben Sie bitte alle beschriebenen Bl¨ atter, inklusive Ihrer Schmierzettel und Ihres Formelblattes ab.

• Die Klausur besteht aus 3 Rechenaufgaben (Aufgaben 1-3) und 3 Verst¨ andnis- aufgaben (Aufgaben 4-6).

• Zum Bestehen der Klausur sind 30 Punkte notwendig, wobei jeweils im Rechen- und Verst¨ andnisteil mindestens 10 Punkte erreicht werden m¨ ussen.

• F¨ ur die Bearbeitung der Klausur haben Sie 90 Minuten Zeit.

• Geben Sie immer einen vollst¨ andigen und kommentierten Rechenweg an!

• Bitte den Studentenausweis und einen amtlichen Lichtbildausweis bereithalten!

• Nicht angemeldete Klausuren k¨ onnen nicht korrigiert werden!

• Mit Bleistift/Rotstift geschriebene Klausuren k¨ onnen nicht gewertet werden.

Viel Erfolg!

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Summe

Punkte

1

Tabelle zur Laplacetransformation

f (x) L

f(x) (t)

1 1

t

x ⁿ , n ∈ N n!

t ⁿ⁺¹ x ^β , β > −1 Γ(β + 1)

t ^β+1

e ^ax 1

t − a x ⁿ e ^ax , n ∈ N

n!

(t − a) ⁿ⁺¹ x ^β e ^ax , β > −1 Γ(β + 1)

(t − a) ^β+1

sin(ax) a

t ² + a ²

cos(ax) t

t ² + a ² sin(ax) e ^bx

a (t − b) ² + a ²

cos(ax) e ^bx t − b

(t − b) ² + a ²

sinh(ax) a

t ² − a ²

cosh(ax) t

t ² − a ² sinh(ax) e ^bx

a (t − b) ² − a ²

cosh(ax) e ^bx t − b

(t − b) ² − a ²

δ _a (x) e ^−at

2

1. (Differentialgleichung 1.Ordnung) [10 Pkt]

Gegeben sei das Anfangswertproblem y ⁰ = 3

2

√

y + y tan x

, y(0) = 0, y : (−π/2, π/2) → [0, ∞).

a) Leiten Sie f¨ ur die Funktion u(x) = p

y(x) ² ein lineares Anfangswertproblem 1. Ordnung her und bestimmen Sie dessen L¨ osung.

b) Geben Sie die zugeh¨ orige L¨ osung y des urspr¨ unglichen Anfangswertproblems an.

2. (Differentialgleichungssysteme) [10 Pkt]

Gegeben sei das folgende lineare Differentialgleichungssystem

~

y ⁰ = A · ~ y + ~b(x) mit A =

−3 −2

2 1

, ~b(x) = e ^−x −1

1

a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem der zugeh¨ origen homogenen, linearen Differentialgleichung.

b) Bestimmen Sie die Wronski-Matrix W (x) und berechnen Sie dessen Inverse.

c) Berechnen Sie mittels Variation der Konstanten eine Partikularl¨ osung und ge- ben Sie den L¨ osungsraum L I an.

3. (Differentialgleichung h¨ oherer Ordnung) [10 Pkt]

Betrachten Sie die inhomogene Differentialgleichung y ⁰⁰⁰ + 2y ⁰⁰ + 2y ⁰ = x.

a) Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem.

b) Berechnen Sie eine Partikularl¨ osung mittels einer geeigneten Ansatzfunktion und geben Sie den L¨ osungsraum L I an.

3

4. (Stabilit¨ at von Gleichgewichtspunkten) [10 Pkt]

Gegeben sei das folgende lineare Differentialgleichungssystem

~

y ⁰ = A · ~ y + ~b(x) mit A =

−3 −5

1 1

, ~b(x) = 0

2

a) Untersuchen Sie die obige Differentialgleichung auf Gleichgewichtspunkte und charakterisieren Sie diese hinsichtlich ihres Stabilit¨ atscharakters.

b) Entscheiden Sie (kurze Begr¨ undung), welches der drei abgebildeten Phasen- portraits die Stabilit¨ atscharakteristik der gegebenen Differentialgleichung be- schreibt.

x ∗ x ∗ x ∗

(A) (B) (C)

5. (Laplacetransformation von Differentialgleichungen) [10 Pkt]

Gegeben sei das Anfangswertproblem

y ⁰⁰ + y = u _2π (x) cos(x − 2π), y(0) = 0, y ⁰ (0) = 0.

a) Berechnen Sie die Laplacetransformierte der Funktion f(x) = x sin(ax), a ∈ R . b) Bestimmen Sie mittels Laplacetransformation die L¨ osung y : [0, ∞) → R des

obigen Anfangswertproblems.

Hinweis: Sie k¨ onnen an geeigneter Stelle Aufgabenteil a) verwenden.

6. (Eigenschaften von Differentialgleichungen) [10 Pkt]

a) Es seien y 1 , y 2 : R → R zwei verschiedene L¨ osungen einer inhomogenen, linearen Differentialgleichung y ⁰ = a(x) y + b(x). Welche Differentialgleichung l¨ ost dann die Funktion f(x) = y ₁ (x) − y ₂ (x)? (kurze Begr¨ undung)

Finden Sie Funktionen a, b : R → R derart, dass die Funktion y(x) = 1 f¨ ur alle x ∈ R eine L¨ osung der Differentialgleichung y ⁰ = a(x) y ² + b(x) ist. (kurze Begr¨ undung)

b) Bestimmen Sie mittels des Faltungssatzes die L¨ osung der Integralgleichung f ⁰ (x) = sin x +

Z x

0

f(x − y) cos y dy, f(0) = 0.

4