Klausur Wirtschaftsmathematik Lösungshinweise

Klausur Wirtschaftsmathematik Lösungshinweise

Prüfungsdatum: 19. Januar 2015 – Prüfer: Etschberger, Heiden, Jansen Studiengang: IM und BW

Aufgabe 1 ^{10 Punkte}

Auf einem Markt konkurrieren zum Zeitpunkt t insgesamt 3 Produkte P1; P2 und P3 mit den jeweiligen Marktanteilen vonx^T_t D ₁₀² ;₁₀³ ;₁₀⁵

. Die MatrixAD.aij/3;3 mit

AD 1 10

0

@

4 3 3 2 5 3 3 2 5

1 A

charakterisiert die anteiligen Käuferfluktuationen zwischen den Produkten, dabei seiaij 2 Œ0; 1

der Anteil an Käufern von ProduktPi zum Zeitpunktt, der zum Zeitpunktt C1 zu ProduktPj

wechselt.

a) Interpretieren Sie die Koeffizientena12 unda21der MatrixA.

b) Berechnen Sie die Marktanteile der 3 Produkte zum Zeitpunktt C1.

c) Welche Marktanteile ergeben sich langfristig, wenn sich das Wechselverhalten der Käufer, beschrieben durch die MatrixA, im Zeitablauf nicht ändert, also die Gleichungx^T_tC1Dx^T_t AD x_t^T erfüllt ist (stationäre Marktverteilung)?

Hinweise zu c):

MitEals einer 33-Einheitsmatrix gilt: Die Lösung des Gleichungssystemsx^T.A E/D0 ist äquivalent zur Lösung des Gleichungssystems.A E/^T x D0.

Bedenken Sie die 4. Gleichung: Die Summe der 3 Marktanteile ist zu jedem Zeitpunkt 100%.

Lösungshinweis:

a) a₁₂ D0,3 bedeutet: 30 % aller aktuellenP₁-Käufer wechseln im nächsten Zeitraum zuP₂ a21 D0,2: VonP2wechseln 20 % im nächsten Zeitraum zuP1.

b) x^T_tC1 Dx_t^TAD.0,29;0,31;0,4/

c) .A E/^TxD0,D 10¹

0

@

6 2 3

3 5 2

3 3 5

1 AxD0

PO Studienstart vor WS 2016/17

Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem mit den Strukturvariablenx; y 2RC, einer Konstantenk 2R, der ZielfunktionF und den NebenbedingungenN1,N2,N3undN4mit

Zielfunktion: kx C y ! min .F / Nebenbedingungen: 3xC2y = 6 .N1/

2x y 5 1 .N2/ xC2y = 5 .N3/ xC y 5 4 .N4/ Für die Teilaufgaben a) bis c) sei der

Wert der Konstantenkin der Zielfunk- tion gleich 1.

a) Skizzieren Sie den Zulässigkeitsbe- reichZdes Problems. Benutzen Sie dazu das vorgegebene Koordinaten- system rechts.

b) Berechnen Sie die relevanten Eck- punkte vonZ.

c) Benutzen Sie die Ergebnisse aus Teilaufgabe b) und bestimmen Sie damit die Menge der Optimallösun- gen des Problems.

x y

1 5

1 4

N₁ N2

N3

N4

A

B

C D

E

Kannkso gewählt werden, dass der Schnittpunkt der Randlinien von d) N3undN4bzw. von

e) N2undN4optimal ist?

Geben Siekfür d) und e) gegebenenfalls an.

Lösungshinweis:

a) siehe Zeichnung

b) AD.0; 4/; B D.0; 3/; C D.0:5; 2:25/; DD.1:4; 1:8/; E.⁵₃;⁷₃/ c) ZF.A/D4,

ZF.B/D3, ZF.C /D2;75, ZF.D/D3;2, ZF.E/D¹²=3D4, optimal ist alsoC.

d) Das geht nicht, Schnittpunkt ist außerhalb des Zulässigkeitsbereichs.

e) ED.⁵=³;⁷=³/ist optimal, wenn ZF.E/5ZF.A/und ZF.E/5ZF.D/ ,

k⁵₃C⁷₃ 5k0C4 und k⁵₃C⁷₃ 5k⁷₅C⁹₅ , k51 und k 5 2 , k5 2

a) Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen

anD 2

nŠ; bnD s

4n² 1

9n.5Cn/; cnD

1 n 2nC1

²

b) Gegeben sei die Reihe.tn/mit

tnD

n

X

kD0

2 p^k :

1. Für welchep 2Rkonvergiert.tn/?

2. Für welchesp 2Rgilt lim

n!1tnD10?

Lösungshinweis:

a) lim

n!1anD0; lim

n!1bnD q4

9 D ²3; lim

n!1cnD ¹2

2

D ¹4

b) 1. Es muss gelten ˇ ˇ ˇ

1 p

ˇ ˇ

ˇ< 1. Daraus folgtjpj> 1, alsop 2. 1; 1/[.1;1/.

2. 2₁¹1

p D10 , _{p 1}^2p D10 , pD ⁵₄

Die Eltern von Susi Sorglos möchten ihr ein Studium finanzieren. Dazu schenken sie ihr an ihrem sechsten Geburtstag, dem 1. Januar 2003, eine Kapitalversicherung. Die Eltern verpflichten sich dabei, jährlich vorschüssig ab diesem Datum und an jedem der folgenden Geburtstage einen Betrag von 312€ auf das Versicherungskonto einzuzahlen. Die letzte Einzahlung erfolgt an Susis 18.

Geburtstag.

(Gehen Sie im Folgenden von Ein- und Auszahlungen auf ein Konto mit einem konstanten jährli- chen Zinssatz von 6% aus.)

a) Über welchen Betrag kann Susi nach der letzten Einzahlung am 1. Januar 2015 verfügen?

b) Susi rechnet damit, dass sie ab dem 1. Januar 2015 bis zum Bachelor 3 Jahre studieren wird.

Über welchen Betrag könnte sie monatlich nachschüssig verfügen, wenn Ihr Vermögen zum Beginn Ihres Studiums 10 000€beträgt?

c) Susi entschließt sich an Ihrem 18. Geburtstag auf die Zuwendung ihrer Eltern zu verzichten, nicht zu studieren und gleich mit ehrlicher Arbeit Geld zu verdienen. Sie möchte erst einige Jahre sparen, dabei rechnet sie damit, pro Jahr 3000€nachschüssig zurücklegen zu können.

Von dem angesparten Geld und den Zinsen (6 % p.a.) möchte sie vor Ihrem 40. Geburtstag eine mehrjährige Weltreise unternehmen.

Wie viele Jahre muss sie arbeiten, bis sie von dem angesparten Geld bis zu Ihrem 40. Ge- burtstag jährlich nachschüssig 30 000€entnehmen kann?

(Hinweise: Überlegen Sie wie lange das Projekt insgesamt dauert und setzen sie den Endwert der Ansparphase gleich dem Barwert der Weltreisephase.)

Lösungshinweis:

a) Vorschüssige Rente plus die letzte Zahlung am 18. Geburtstag:

RnD312^1;06_{1;06 1}^{12 1} 1;06C312D5575,42€ b) re Dr 12C0;06 ¹¹2

Dr12;33undR0D10:000Dre^1;061;06 1^{3 1} 1;06 ³; damit:

r D10000 0;06

12;33.1 1;06 ³/ D303;41€

c) Endwert Ansparphase ist gleich Barwert Weltreisephase. Gesamtdauer Projekt: 22 Jahre,x Jahre ansparen,22 xJahre entnehmen:

3000 1;06^x 1

1;06 1 D30 0001;06^{22 x} 1

1;06 1 1;06^{x 22} 1;06^x 1D10 1 1;06^{x 22}

1;06^xC101;06^x 1;06 ²²D11 1;06^x D 11

1C101;06 ²² xD ln

11 1C101;06 ²²

.

ln1;0618,3542377

Die Weltreise kann nach der 19. Ansparzahlung, also am 37. Geburtstag starten, Susi kann bis zum 40. Geburtstag damit 3 Jahre auf Weltreise bleiben, bis das Konto vollständig geplündert ist.

Gegeben sei die FunktionfWD !RmitD Rmit f .x/De ^x

q

3x²C₁₂⁵ : a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich vonf an.

b) Hatf Nullstellen? Wenn ja: für welchex?

c) Berechnen Sie die erste Ableitung vonf.

d) Bestimmen Sie ohne die zweite Ableitung alle Extremalstellen vonf.

Lösungshinweis:

a) DDR, da das Argument der Wurzel für keinxnegativ wird.

b) f hat keine Nullstellen (Argument der Wurzel ist immer positiv).

c) f⁰.x/D e ^x 3x²C 12⁵

¹₂

Ce ^x 1

2 3x²C12⁵

¹₂ 6x D e ^x

q

3x²C₁₂⁵

3x² ₁₂⁵ C3x

d) Der Term vor der Klammer ist immer positiv. Nullstellen der Klammer, also fürx² xC₃₆⁵ D0bei x₁₌₂D ¹₂

1˙

q

1 4 ₃₆⁵

D ¹₂ ˙¹₃ D (1=⁶

5=6 .

f⁰.0/ < 0, also istf str. mon. fallend fürx 2. 1I¹=⁶/,f ist str. mon. steigend fürx2 .¹=⁶I⁵=⁶/ und wieder str. mon. fallend fürx 2.⁵=6I 1/.

Damit hatf ein lokales Minimum beixD¹=6und ein lokales Maximum beixD⁵=6.

Gegeben ist die FunktiongWR² !Rdurch g.s; t /D 1

3s².s 3/Ct .t² 12/

a) Bestimmen Sie den Gradientenrg.s; t /, sowie die kritischen Stellen vong.

b) Bestimmen Sie die Hesse-MatrixHg.s; t /.

c) Zeigen Sie nun, dass die Funktiongzwei Sattelpunkte, ein lokales Minimum und ein lokales Maximum hat, und geben Sie die jeweiligen Stellen an.

Lösungshinweis:

a) Berechnung des Gradienten:

.rg/.s; t /D.s.s 2/; 3t² 12/^>

Kritische Stellen sind damit.0; 2/,.0; 2/,.2; 2/und.2; 2/.

b) Hesse-Matrix:

Hg.s;t /D

2s 2 0

0 6t

c) MitDDdet.Hg/D6t .2s 2/ergibt sich für die vier obigen Punkte:

D.0;2/D 24; D.0; 2/D24; D.2;2/D24; D.2; 2/D 24

Damit sind.0; 2/und.2; 2/Sattelpunkte,.0; 2/ist ein relatives Maximum und.2; 2/ein relatives Minimum.