H¨ ohere Analysis

Fachbereich Informatik Sommersemester 2018 Prof. Dr. Peter Becker

H¨ ohere Analysis

Aufgabenblatt 4

Abgabe zu zweit am 9. Mai 2018 vor der Vorlesung.

Sollpunktzahl: 15 Punkte

Aufgabe 1 (Lipschitz-Stetigkeit) 2+2+2+2=8 Punkte

Es seien (M, d) und (M

, d

) metrische R¨ aume.

Eine Funktion f : M → M

heißt Lipschitz-stetig, wenn es ein L ∈ R gibt, so dass gilt:

∀x, y ∈ M : d

(f(x), f (y)) ≤ L · d(x, y).

L heißt dann Lipschitz-Konstante.

(a) Zeigen Sie: Ist f Lipschitz-stetig, dann ist f auch stetig auf M.

(b) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine Funktion f : R → R an, die stetig aber nicht Lipschitz-stetig ist.

(c) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine Funktion f : [0, 1] → R an, die stetig aber nicht Lipschitz-stetig ist.

(d) Sei f : [a, b] → R differenzierbar. Zeigen Sie: Gilt |f

(x)| ≤ L f¨ ur alle x ∈ [a, b], dann ist f Lipschitz-stetig auf [a, b].

Hinweise: Bei (b), (c) und (d) nutzen Sie die Metrik d(x, y) = |x − y| f¨ ur x, y ∈ R . Bei (b) und (c) m¨ ussen Sie nat¨ urlich auch begr¨ unden, warum die von Ihnen angegebene Funktion nicht Lipschitz-stetig ist.

Aufgabe 2 (Banachscher Fixpunktsatz) 3+1+2=6 Punkte (a) Zeigen Sie, dass die Funktion f : [0, ∞) → [0, ∞) mit

f(x) = x +

x + 1 einen eindeutigen Fixpunkt hat.

(b) Berechnen Sie diesen Fixpunkt.

(c) Berechnen Sie f¨ ur die Approximationsfolge des Banachschen Fixpunktsatzes mit den Startwerten

x

= 0, x

= 1 und x

= 100 jeweils die ersten f¨ unf Folgenglieder.

Aufgabe 3 (Banachscher Fixpunktsatz) 2+1+2+2=7 Punkte

(a) Zeigen Sie, dass die Funktion

f (x) = 1 6 x

− 1

2 x

− 1 4 x + 3

4 im Intervall [1, 2] eine Nullstelle hat.

(b) Formulieren Sie das Problem der Nullstellenbestimmung als Fixpunktaufgabe.

(c) ¨ Uberpr¨ ufen Sie, ob die Voraussetzungen f¨ ur den Banachschen Fixpunktsatz erf¨ ullt sind.

(d) Schreiben Sie ein kleines Programm, um eine Approximation der Nullstelle zu berechnen und geben Sie das Ergebnis der Berechnung an.

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