H¨ ohere Analysis

Fachbereich Informatik Sommersemester 2018 Prof. Dr. Peter Becker

H¨ ohere Analysis

L¨osungen zu Aufgabenblatt 7

Aufgabe 1 (Eigenschaften von Kurven) 2+2+2=6 Punkte (a) Untersuchen Sie, ob die Kurve

x(t) =





sin(2πt) cos(2πt) 2t−t²



, t∈[0,2]

eine Jordan-Kurve ist.

(b) Ermitteln Sie f¨ur die Kurve

x(t) =

t−sin(t) 1−cos(t)

den Tangentenvektor und die Tangentengleichung f¨urt₀ = ^π₂. (c) Zeigen Sie, dass die Kurve

x(t) = t

e^−|t|

, t∈[−1,1]

nicht glatt ist.

L¨osung:

(a) Die Kurve ist keine Jordan-Kurve, denn es gilt

x 1

2

=



 0

−1

3 4



=x 3

2

.

(b) Der Tangentenvektor lautet

˙ x(t) =

1−cos(t) sin(t)

. Somit gilt

˙ xπ

2

= 1

1

und xπ 2

= _π

2 −1 1

. Damit lautet die Tangentengleichung

_π

2 −1 1

+t·

1 1

, t∈R.

(c) F¨urt≥0 gilt

x(t) = t

e^−t

und somit

˙ x(t) =

1

−e^−t

bzw. x(0+) =˙ 1

−1

. Dagegen gilt f¨urt <0

x(t) = t

e^t

und somit

˙ x(t) =

1 e^t

bzw. x(0−) =˙ 1

1

.

Damit ist die Ableitung an der Stellet= 0 nicht stetig und die Kurve somit nicht glatt.

Aufgabe 2 (L¨ange von Funktionsgraphen) 2+2=4 Punkte

Berechnen Sie die L¨ange des Funktionsgraphen von f(x) im angegebenen Intervall I.

(a) f(x) = cosh(x), I = [−1,1]

(b) f(x) =√

1−x², I =

−¹₂,¹₂

L¨osung:

(a)

L(f) = Z 1

−1

q

1 + (f⁰(x))²dx

= Z 1

−1

q

1 + sinh²(x)dx

= Z 1

−1

cosh(x)dx

= [sinh(x)]^x=1_x=−1

= sinh(1)−sinh(−1)

= 2 sinh(1)

= e−1 e sage: var(’x’)

x

sage: f(x) = cosh(x) sage: diff(f,x) x |--> sinh(x)

sage: fdiff = diff(f,x)

sage: integral(sqrt(1+fdiff*fdiff),x,-1,1) (e^2 - 1)*e^(-1)

(b) Wenn man erkennt, dass es sich beif(x) =√

1−x² um den oberen Einheitskreis handelt (Defini- tionsbereich ist [−1,1]), dann beschreibt das Intervall

−¹₂,¹₂

einen Kreisbogen. Diex-Koordinate entspricht dem Cosinus. F¨ur x₌^π₃ gilt cos(x) = ¹₂ und f¨urx₌^2π₃ gilt −cos(x) = ¹₂. Also hat der Kreisbogen eine L¨ange von ^π₃.

Alternativ k¨onnen wir nat¨urlich auch die Formeln aus der Vorlesung f¨ur die Bogenl¨ange verwen- den:

L(f) = Z ¹

2

−¹₂

q

1 + (f⁰(x))²dx.

Mit

f⁰(x) =p

1−x²0

=− x

√ 1−x² ergibt sich

L(f) = Z ¹

2

−¹₂

r

1 + x² 1−x² dx

= Z ¹

2

−¹₂

√ 1

1−x² dx

= [arcsin(x)]^x=

1 2

x=−¹₂

= π

6 −

−π 6

= π

3. sage: f(x) = sqrt(1-x^2)

sage: fdiff = diff(f,x)

sage: integral(sqrt(1+fdiff*fdiff),x,-1/2,1/2) 1/3*pi

Aufgabe 3 (Bogenl¨ange) 2+2+2=6 Punkte

Berechnen Sie die B¨ogenl¨angeL(x) der folgenden Kurven:

(a)

x(t) =





rcos(t) rsin(t)

ht



, t∈[0,2π]

(b)

x(t) =



 t t²

2 3t³



, t∈[0,1]

(c)

x(t) =





e^tcos(t) e^tsin(t)

e^t



, t∈[0,2π]

L¨osung:

(a)

L(x) = Z 2π

0

kx(t)k˙ dt

= Z 2π

0

q

r²sin²(t) +r²cos²(t) +h²dt

= Z 2π

0

pr²+h²dt

= 2πp

r²+h². sage: var(’t’)

t

sage: var(’r’) r

sage: var(’h’) h

sage: x1(t) = r*cos(t) sage: x2(t) = r*sin(t) sage: x3(t) = h*t

sage: xdot1(t) = diff(x1(t),t) sage: xdot2(t) = diff(x2(t),t) sage: xdot3(t) = diff(x3(t),t)

sage: integral(sqrt(xdot1^2+xdot2^2+xdot3^2),t,0,2*pi) 2*pi*sqrt(h^2 + r^2)

(b)

L(x) = Z 1

0

kx(t)k˙ dt

= Z 1

0

p1 + 4t²+ 4t⁴dt

= Z 1

0

q

(1 + 2t²)²dt

= Z 1

0

1 + 2t²dt

=

t+2 3t³

t=1 t=0

= 1 +2 3

= 5

3. sage: x1(t) = t

sage: x2(t) = t^2 sage: x3(t) = 2/3*t^3

sage: xdot1(t) = diff(x1(t),t) sage: xdot2(t) = diff(x2(t),t) sage: xdot3(t) = diff(x3(t),t)

sage: integral(sqrt(xdot1^2+xdot2^2+xdot3^2),t,0,1) 5/3

(c) Es gilt

˙ x(t) =





e^tcos(t)−e^tsin(t) e^tsin(t) + e^tcos(t)

e^t



=





e^t(cos(t)−sin(t)) e^t(sin(t) + cos(t))

e^t



.

Damit erhalten wir L(x) =

Z _2π

0

kx(t)k˙ dt

= Z 2π

0

pe^2t(cos(t)−sin(t))²+ e^2t(sin(t) + cos(t))²+ e^2tdt

= Z 2π

0

√ 3e^2tdt

= √

3 Z 2π

0

e^tdt

=

√

3 e^2π−1 .

sage: x1(t) = exp(t)*cos(t) sage: x2(t) = exp(t)*sin(t) sage: x3(t) = exp(t)

sage: xdot1(t) = diff(x1(t),t) sage: xdot2(t) = diff(x2(t),t) sage: xdot3(t) = diff(x3(t),t)

sage: integral(sqrt(xdot1^2+xdot2^2+xdot3^2),t,0,2*pi) sqrt(3)*e^(2*pi) - sqrt(3)

Aufgabe 4 2+4=6 Punkte

Wir betrachten die Funktion f(x) =xsin ^2π_x .

(a) Zeigen Sie, dass die Funktionf(x) an der Stellex= 0 stetig fortsetzbar ist.

(b) Zeigen Sie, dass der Funktionsgraph der Funktion f(x) (inklusive der stetigen Fortsetzung) auf dem Intervall [0,1] keine endliche L¨ange hat.

Hinweis: Sch¨atzen Sie die L¨ange des Funktionsgraphen durch einen geeigneten Polygonzug nach unten ab.

L¨osung:

(a) Es gilt

0≤ |f(x)|=

xsin 2π

x

≤ |x| −→0 f¨urx→0.

Damit folgt

x→0lim|f(x)|= 0.

und somit auch

x→0limf(x) = 0.

(b) Wir w¨ahlen als Zwischenpunktex_i = _2i+1⁴ f¨uri= 2,3, . . .. Damit erhalten wir sin

2π x_i

= sin 2π

4 2i+1

!

= sin

(2i+ 1)π 2

= sin

i+1 2

π

= (−1)ⁱ.

F¨ur die L¨angeL(f) des Funktionsgraphen folgt L(f) ≥

∞

X

i=2

p(xi+1−xi)²+ (f(xi+1)−f(xi))²

≥

∞

X

i=2

p(f(x_i+1)−f(x_i))²

=

∞

X

i=2

|f(xi+1)−f(xi)|

=

∞

X

i=2

4

2i+ 3(−1)ⁱ⁺¹− 4

2i+ 1(−1)ⁱ

=

∞

X

i=2

4

2i+ 3+ 4 2i+ 1

≥

∞

X

i=2

8 2i+ 3

≥ 4

∞

X

i=2

1 i+ 2

= 4

∞

X

i=4

1

i /∗ Harmonische Reihe ∗/

= ∞.