H¨ ohere Analysis

Fachbereich Informatik Sommersemester 2018 Prof. Dr. Peter Becker

H¨ ohere Analysis

Aufgabenblatt 3

Abgabe zu zweit am 2. Mai 2018 vor der Vorlesung.

Sollpunktzahl: 12 Punkte

Aufgabe 1 (Orthogonalisierung eines Funktionenraums) 4+2=6 Punkte (a) Konstruieren Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis f¨ ur den Funktionen-

raum (P

[−1, 1], k · k

). Gehen Sie dabei von der Basis 1, x, x

, x

aus.

(b) Stellen Sie das Polynom

p(x) = 4x

− 7x

+ 8

als Linearkombination der Orthonormalbasis dar, die Sie in (a) ermittelt haben.

Aufgabe 2 (Metriken) 1+1+1+1+1+1=6 Punkte

Welche der nachfolgenden Funktionen d ist eine Metrik, welche nicht? Begr¨ unden Sie jeweils Ihre Ant- wort.

(a) Es sei G = (V, E) ein zusammenh¨ angender (ungerichteter) Graph und c : E → R eine Kantenge- wichtsfunktion mit c(e) > 0 f¨ ur alle e ∈ E. F¨ ur v

, v

∈ V sei

d(v

, v

) := L¨ ange eines k¨ urzesten Weges von v

nach v

. (b) Wie bei (b), aber G ist ein gerichteter Graph.

(c) Es seien (a

) und (b

) konvergente Folgen mit lim

n→∞

a

= a und lim

n→∞

b

= b. F¨ ur solche konver- genten Folgen sei dann

d((a

), (b

)) = |a − b|.

(d) F¨ ur zwei beschr¨ ankte Folgen (a

) und (b

) sei d((a

), (b

)) = sup

n∈N

|a

− b

|.

(e) F¨ ur f, g ∈ C[a, b] sei

d(f, g) = Z

a

(f(x) − g(x))

dx.

(f) F¨ ur zwei Intervalle I = [a, b] und J = [r, s] sei

d(I, J) = max{|r − a|, |s − b|}.

Aufgabe 3 (Mengeneigenschaften) 3+2=5 Punkte

(a) Beweisen Sie die Aussage von Lemma 1.49: Der Schnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen.

(b) Gilt die Aussage von Lemma 1.49 auch f¨ ur offene Mengen? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort!