Fachbereich Informatik Sommersemester 2018 Prof. Dr. Peter Becker
H¨ ohere Analysis
Aufgabenblatt 2
Abgabe zu zweitam 25. April 2018 vor der Vorlesung.
Sollpunktzahl: 15 Punkte
Aufgabe 1 (Berechnung von Normen) 9 Punkte
Berechnen Sie f¨ur die folgenden Intervalle [a, b] und Funktionenf ∈ C[a, b] jeweilskfk1,kfk2undkfk∞. (a) a= 0, b= 10, f(x) =x2−7x+ 10
(b) a=−π, b=π, f(x) = sin(x) (c) a=−1, b= 1, f(x) =xe−|x|
Aufgabe 2 (Nicht¨aquivalenz von Normen) 4 Punkte
Zeigen Sie, dass die Normenk · k1 undk · k∞ auf dem C[a, b] nicht ¨aquivalent sind.
Aufgabe 3 (Cauchy-Eigenschaft und Norm) 4 Punkte
Wir betrachten die Folge der Funktionenfn: [0,1]→R, die gegeben ist durch
fn(x) =
nx f¨ur 0≤x≤ 1n 2−nx f¨ur n1 < x≤ 2n 0 f¨ur n2 < x≤1.
Offensichtlich giltfn∈ C[0,1] f¨ur alle n∈N.
(a) Zeigen Sie, dass (fn) eine Cauchy-Folge bzgl. der Normk · k2 ist.
(b) Zeigen Sie, dass (fn) keine Cauchy-Folge bzgl. der Normk · k∞ist.
Aufgabe 4 (Orthogonalraum eines Funktionenraums) 4 Punkte Wir betrachten den FunktionenraumP2[0,1], also den Vektorraum der Polynome mit einem Grad≤2 auf dem Intervall [0,1].
Bestimmen Sie in P2[0,1] den Orthogonalraum zu L{x2−3x+ 2, x2+ 4x−1}.
