Fachbereich Informatik Sommersemester 2018 Prof. Dr. Peter Becker
H¨ ohere Analysis
Aufgabenblatt 8
Abgabe zu zweitam 6. Juni 2018 vor der Vorlesung.
Sollpunktzahl: 12 Punkte
Aufgabe 1 (Bogenl¨angenparametrisierung) 3+3=6 Punkte
(a) Geben Sie f¨ur die Kurve
x(t) =
etcos(t) etsin(t)
et
, t∈[0,2π]
die Bogenl¨angenfunktions(t) (vgl. Folie 183) und eine Parametrisierungz(s) nach der Bogenl¨ange an.
Hinweis: Wir haben die Bogenl¨ange der Kurve in Aufgabe 3 (c) von Aufgabenblatt 7 berechnet.
(b) Geben Sie den Mittelpunkt m ∈ R3 der Kurve (bez¨uglich Ihrer Bogenl¨ange) an. F¨ur welches t giltx(t) =m?
Aufgabe 2 (Skalar- und Kreuzprodukt) 2+2=4 Punkte
(a) Seienx: [a, b]→Rn und y: [a, b]→Rn. Zeigen Sie:
d
dthx(t),y(t)i=hx(t),˙ y(t)i+hx(t),y(t)i.˙ (b) Seiena,b∈R3.
Zeigen Sie:a×b⊥aund a×b⊥b.
Aufgabe 3 (Haupt- und Binormalenvektor) 2+2=4 Punkte (a) Geben Sie f¨ur die Kurve aus Aufgabe 1 (a) das begleitende Dreibein, d. h. Tangenteneinheitsvek-
tor, Hauptnormalen- und Binormalenvektor an.
(b) F¨ur eine Kurve im R3 heißt die Ebene, die im Punkt x(t) vom Tangenteneinheits- und Haupt- normalenvektor aufgespannt wird,Schmiegeebene (vgl. Folie 192).
Geben Sie die Schmiegeebene im Punktx 34π
in Parameterform und in Hessescher Normalform an.
Aufgabe 4 (Kr¨ummung) 2+3=5 Punkte
(a) Berechnen Sie die Kr¨ummung κ(x) der Funktion f(x) = cosh(x).
(b) Ein Schmiegekreis oder Kr¨ummungskreis f¨ur einen Kurvenpunkt im R2 ist ein Kreis, der im Kurvenpunkt die gleiche Tangente und die gleiche Kr¨ummung wie die Kurve hat (vgl. Folie 203).
Die Kr¨ummung eines Kreises mit Radiusr ist konstant 1r.
Geben Sie f¨ur den Funktionsgraphen vonf(x) = cosh(x) je einen Schmiegekreis (Mittelpunkt und Radius) f¨ur die Punkte (0, f(0)), (−1, f(−1)) und (3, f(3)) an.
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