H¨ ohere Analysis

Fachbereich Informatik Sommersemester 2018 Prof. Dr. Peter Becker

H¨ ohere Analysis

L¨ osungen zu Aufgabenblatt 9

Aufgabe 1 (Kr¨ ummung) 2+2+3=7 Punkte

(a) Berechnen Sie die Kr¨ ummung der Kurve x(t) =

a cos(t) b sin(t)

, t ∈ [0, 2π], a, b > 0.

(b) F¨ ur die Kurve aus (a) gelte a > b > 0. Wo ist die Kr¨ ummung maximal, wo ist sie minimal?

(c) Berechnen Sie die Kr¨ ummung der Kurve

x(t) =



 t t

t



 , t ∈ [−1, 1].

L¨ osung:

(a) F¨ ur x(t) = (x(t), y(t))

ermitteln wir die Ableitungen:

˙

x = −a sin(t)

˙

y = b cos(t)

¨

x = −a cos(t)

¨

y = −b sin(t).

Damit ergibt sich f¨ ur die Kr¨ ummung κ(t) = y ¨ x ˙ − x ¨ y ˙

( ˙ x

+ ˙ y

)

= (−b sin(t))(−a cos(t)) − (−a cos(t))(b cos(t)) a

sin

(t) + b

cos

(t)

= ab sin

(t) + ab cos

(t) a

sin

(t) + b

cos

(t)

= ab

a

sin

(t) + b

cos

(t)

.

(b) Da der Z¨ ahler konstant ist, ergeben sind Maximum und Minimum der Kr¨ ummung durch den stets positiven Nenner. Dort wo der Nenner ein Maximum hat, hat die Kr¨ ummung ein Minimum und umgekehrt. Da f (x) = x

streng monoton wachsend ist, gen¨ ugt es, Minimum und Maximum von g(t) = a

sin

(t) + b

cos

(t) zu bestimmen. Es gilt

g

(t) = a

2 sin(t) cos(t) − b

2 cos(t) sin(t) = 2 sin(t) cos(t)(a

− b

).

Wegen a > b > 0 folgt a

− b

> 0. Somit gilt

g

(t) = 0 ⇒ sin(t) = 0 ∨ cos(t) = 0

⇒ t = 0 ∨ t = π ∨ t = π

2 ∨ t = 3π 2 . Weiterhin ergibt sich

g

(t) = 2(a

− b

)(cos

(t) − sin

(t)) und somit

g

(0) = g

(π) = 2(a

− b

) > 0 g

π

2

= g

3π

2

= −2(a

− b

) < 0.

Also liegt bei 0 und π ein Minimum von g und somit ein Maximum der Kr¨ ummung vor, bei

und

dagegen ein Minimum der Kr¨ ummung.

(c) Wir bilden die Ableitungen:

˙ x(t) =



 1 2t

1



 , x(t) = ¨



 0 2 0



 .

Damit erhalten wir

˙

x(t) × ¨ x(t) =



 1 2t

1



 ×



 0 2 0



 =



 0 − 2 0 − 0 2 − 0



 =





−2 0 2



 .

Es ergibt sich

κ(t) = k x(t) ˙ × ¨ x(t)k k x(t)k ˙

=

p (−2)

+ 2

√ 1 + 4t

+ 1

=

√ 8 (4t

+ 2)

.

Aufgabe 2 (Kr¨ ummungsstetigkeit, kubische Splines) 5 Punkte Wir wollen eine Funktion f : [−1, 1] → R aus zwei kubischen Polynomen p(x) = a

x

+ a

x

+ a

x + a

und q(x) = b

x

+ b

x

+ b

x + b

so zusammensetzen:

f (x) =

p(x) f¨ ur x ∈ [−1, 0]

q(x) f¨ ur x ∈ (0, 1]

Weiterhin sollen die folgenden Bedingungen gelten:

• vorgegebene Funktionswerte: p(−1) = 4, p(0) = 1, q(1) = 6

• Stetigkeit: q(0) = p(0)

• f ist glatt und kr¨ ummungsstetig: p

(0) = q

(0) und p

(0) = q

(0).

• periodische Randbedingungen: p

(−1) = q

(1) und p

(−1) = q

(1)

Ermitteln Sie die (eindeutig bestimmten) Koeffizienten a

, . . . , a

, b

, . . . , b

∈ R . L¨ osung:

p(−1) = 4 ⇒ −a

+ a

− a

+ a

= 4 (1)

q(1) = 6 ⇒ b

+ b

+ b

+ b

= 6 (2)

Es gilt

p

(x) = 3a

x

+ 2a

x + a

q

(x) = 3b

x

+ 2b

x + b

p

(x) = 6a

x + 2a

q

(x) = 6b

x + 2b

Somit:

p

(0) = q

(0) ⇒ a

= b

(5)

p

(0) = q

(0) ⇒ a

= b

(6)

p

(−1) = q

(1) ⇒ 3a

− 2a

+ a

= 3b

+ 2b

+ b

(7) p

(−1) = q

(1) ⇒ −6a

+ 2a

= 6b

+ 2b

(8) Wir setzen (6) in (8) ein und erhalten −6a

= 6b

woraus

b

= −a

(9)

folgt. Nun setzen wir (3), (4), (5), (6), (9) in (1), (2) ein und erhalten

−a

+ a

− a

= 3 (10)

−a

+ a

+ a

= 5 (11) Hieraus folgt a

= 1 und somit auch b

= 1. Wir setzen in (7) und (11) ein und erhalten

−a

+ a

= 4 6a

− 4a

= 0

Die L¨ osung ist a

= 8 und a

= 12. Somit folgt b

= −8 und b

= 12. Damit lauten die kubischen Polynome

p(x) = 8x

+ 12x

+ x + 1 q(x) = −8x

+ 12x

+ x + 1

−1 1

− 4

− 6

− 1

Aufgabe 3 (Torsion) 3+4=7 Punkte (a) Ermitteln Sie die Torsion der Kurve

x(t) =



 t t

t



 .

(b) Geben Sie eine Funktion z(t) an, so dass f¨ ur die Kurve

x(t) =



 t

t z(t)





gilt det ( x(t), ˙ x(t), ¨ ...

x (t)) = c mit c ∈ R und c 6= 0.

L¨ osung:

(a) Wir ermitteln die Ableitungen:

˙ x(t) =



 1 2t 3t



 , ¨ x(t) =



 0 2 6t



 , ...

x (t) =



 0 0 6



 .

Damit erhalten wir

det ( x(t), ˙ ¨ x(t), ...

x(t)) =

1 0 0

2t 2 0 3t

6t 6

= 12 und

k x(t) ˙ × ¨ x(t)k =



 1 2t 3t



 ×



 0 2 6t





=





2t · 6t − 3t

· 2 3t

· 0 − 1 · 6t

1 · 2 − 2t · 0





=



 6t

−6t 2





= p

36t

+ 36t

+ 4.

Damit folgt

τ (t) = det ( x(t), ˙ ¨ x(t), ...

x (t))

k x(t) ˙ × ¨ x(t)k

= 12

36t

+ 36t

+ 4 . (b) Wir ermitteln die Ableitungen:

˙ x(t) =



 3t

1

˙ z(t)



 , ¨ x(t) =



 6t

0

¨ z(t)



 , x(t) = ¨



 6 ... 0

z (t)



 .

Damit erhalten wir

det ( x(t), ˙ ¨ x(t), ...

x (t)) =

3t

6t 6

1 0 0

˙

z z ¨ ...

z

= (−1)

6t 6

¨ z ...

z

= −(6t ...

z − 6¨ z)

= 6¨ z − 6t ...

z .

Es soll gelten

det ( x(t), ˙ ¨ x(t), ...

x (t)) = 6¨ z − 6t ...

z = c

⇒ z ¨ − t ...

z = c 6 =: d

⇒ z ¨ − t ...

z = d

⇒ ...

z = z ¨ − d t

Hier gibt es nun zwei M¨ oglichkeiten. Entweder man sieht, dass mit ¨ z = t + d diese Gleichung gel¨ ost wird, oder man nutzt

... z = z ¨ − d t

⇒ ... z

¨

z − d = 1 t

⇒

Z ...

z

¨

z − d dt = Z 1

t dt

⇒ log(¨ z − d) = log(t)

⇒ z ¨ − d = t

⇒ z ¨ = t + d.

Aus ¨ z = t + d folgt dann durch zweimaliges Integrieren z(t) = 1

6 t

+ 1 2 dt

. Wenn wir d = 2 und somit c = 12 w¨ ahlen, erhalten wir

z(t) = 1

6 t

+ t

.