Fachbereich Informatik Sommersemester 2018 Prof. Dr. Peter Becker
H¨ ohere Analysis
Aufgabenblatt 5
Abgabe zu zweitam 16. Mai 2018 vor der Vorlesung.
Sollpunktzahl: 10 Punkte
Aufgabe 1 (Orthogonalit¨at des trigonometrischen Systems) 2+2+2=6 Punkte (a) Es gelten die bekannten Additionstheoreme:
cos(x1+x2) = cosx1cosx2−sinx1sinx2
cos(x1−x2) = cosx1cosx2+ sinx1sinx2
cos 2x = cos2x−sin2x Folgern Sie daraus die Additionstheoreme:
sinx1sinx2 = cos(x1−x2)−cos(x1+x2) 2
sin2x = 1−cos 2x 2 Zeigen Sie: F¨ur alle n, m∈Ngilt:
(b)
1 π
Z π
−π
sin(nx) sin(mx)dx=
0 f¨urn6=m 1 f¨urn=m (c)
1 π
Z π
−π
sin(nx) cos(mx)dx= 0
Aufgabe 2 (Fourierreihe) 3+2+3=8 Punkte
Die Funktionf sei auf (−π, π] definiert durch f(x) =x2 und wird 2π-periodisch fortgesetzt. Skizze:
−3π −2π −π π 2π 3π
π2 -
(a) Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten und geben Sie die Fourierreihe an.
(b) Begr¨unden Sie die Konvergenz der Fourierreihe gegen f(x) f¨ur alle x∈R. (c) Zeigen Sie:
∞
X
n=1
(−1)n+1 n2 = π2
12 und
∞
X
n=1
1 n2 = π2
6
Hinweis: Nutzen Sie spezielle Werte f¨urx sowie die Konvergenz der Fourierreihe gegenf(x).
2
