Mathematische Grundlagen Wintersemester 2014/15 – Wiebke Petersen

(1)

Mathematische Grundlagen

Wintersemester 2014/15 – Wiebke Petersen

Gesammelte Folien

Index am Ende der Datei

(2)

Notation und Terminologie Mengenbeschreibungen Teilmengen Mächtigkeit von Mengen Operationen

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Mengen und Mengenoperationen

Dozentin: Wiebke Petersen

1. Foliensatz

(3)

Frage

Was ist eine Menge?

1 Minute zum Nachdenken und

Diskutieren

(4)

Mengen

Georg Cantor (1845-1918)

„EineMengeist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die

‚Elemente‘genannt werden) zu einem Ganzen.“

Mengen werden über ihre Elemente bestimmt.

Elemente von Mengen können selber Mengen sein.

Mengen können endlich oder unendlich sein.

(5)

Mengen

Georg Cantor (1845-1918)

„EineMengeist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die

‚Elemente‘genannt werden) zu einem Ganzen.“

Mengen werden über ihre Elemente bestimmt.

Elemente von Mengen können selber Mengen sein.

Mengen können endlich oder unendlich sein.

(6)

Notation und Terminologie

Variablen für Mengen: A,B,C, . . . ,M,N, . . . Variablen für Elemente: a,b,c, . . . ,x,y,z

Istmein Element vonM so schreibt manm∈M. Istmkein Element vonM so schreibt manm_6∈M.

Zwei MengenAundB sind genau dannidentischodergleich, wenn jedes Element vonAauch Element vonB ist und wenn jedes Element vonB auch Element vonAist.

Es gibt genau eine Menge, die keine Elemente enthält, dieleere Menge (Symbol: ;, es gilt; ={ }).

Mengen mit genau einem Element werdenEinermengen (singleton)genannt.

N={1^,2^,3^{, . . .}}ist die Menge der natürlichen Zahlen

N0={0,1,2,3, . . .}ist die Menge der natürlichen Zahlen mit 0 Z={. . . ,−3^,−2^,−1^,0^,1^,2^,3^{, . . .}}ist die Menge der ganzen Zahlen Qist die Menge der rationalen Zahlen (alle ‚Bruchzahlen‘). Rist die Menge der reellen Zahlen (alle ‚Kommazahlen‘).

(7)

Notation und Terminologie

(8)

Notation und Terminologie

(9)

Notation und Terminologie

(10)

Notation und Terminologie

(11)

Notation und Terminologie

N0={0,1,2,3, . . .}ist die Menge der natürlichen Zahlen mit 0 Z={. . . ,−3^,−2^,−1^,0^,1^,2^,3^{, . . .}}ist die Menge der ganzen Zahlen Qist die Menge der rationalen Zahlen (alle ‚Bruchzahlen‘).

Rist die Menge der reellen Zahlen (alle ‚Kommazahlen‘).

(12)

Bertrand Russell (1872-1970)

Russels Antinomie (1901)

SeiMdie Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten.

GiltM_∈M oderM_6∈M?

Ausweg: ‚Theorie der Typen‘ (Principia Mathematica, Russel & Whitehead 1910-13)

Mengen werden stufenweise aufgebaut und sind immer von einem höheren Typ als ihre Elemente.

(13)

Bertrand Russell (1872-1970)

Russels Antinomie (1901)

SeiMdie Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten.

GiltM_∈M oderM_6∈M? Ausweg: ‚Theorie der Typen‘

(Principia Mathematica, Russel &

Whitehead 1910-13)

Mengen werden stufenweise aufgebaut und sind immer von einem höheren Typ als ihre Elemente.

(14)

Grellings Paradoxie

Ein Adjektiv heiße

autologisch, wenn es sich selbst beschreibt (Bsp.: dreisilbig, haplogisch, kurz, xenonymisch, adjektivisch, verbal,

vokalenthaltend, . . . )

heterologisch, wenn es sich nicht selbst beschreibt (Bsp.: zweisilbig, essbar, grün, . . . )

Ist ‚heterologisch‘ heterologisch? (nach D.R. Hofstadter:Gödel, Escher, Bach) In diesem Kurs werden Mengen so beschrieben, dass keine Paradoxien auftreten.

Paradoxien der Selbstbezüglichkeit

zeichnende Händevon M.C. Escher

(15)

Grellings Paradoxie

Ein Adjektiv heiße

Ist ‚heterologisch‘ heterologisch?

(nach D.R. Hofstadter:Gödel, Escher, Bach)

In diesem Kurs werden Mengen so beschrieben, dass keine Paradoxien auftreten.

Paradoxien der Selbstbezüglichkeit

(16)

Grellings Paradoxie

Ein Adjektiv heiße

Ist ‚heterologisch‘ heterologisch?

(nach D.R. Hofstadter:Gödel, Escher, Bach) In diesem Kurs werden Mengen so beschrieben, dass keine Paradoxien auftreten.

Paradoxien der Selbstbezüglichkeit

(17)

Mengenbeschreibungen

Explizite Mengendarstellung {a₁,a₂, . . . ,an}ist die Menge, die genau die Elementea₁,a₂, . . . ,a_n enthält.

Beispiel:

{2^,3^,4^,5^,6^,7^}

Implizite Mengendarstellung {x_|A}ist die Menge, die genau die Objektex enthält, auf die die AussageA zutrifft.

Beispiel:

{x_∈_R|x_∈_Nund 1<x undx_<8^},

(18)

Mengenbeschreibungen

Explizite Mengendarstellung {a₁,a₂, . . . ,an}ist die Menge, die genau die Elementea₁,a₂, . . . ,a_n enthält.

Beispiel:

{2^,3^,4^,5^,6^,7^}

Implizite Mengendarstellung {x_|A}ist die Menge, die genau die Objektex enthält, auf die die AussageA zutrifft.

Beispiel:

{x_∈_R|x_∈_Nund 1<x undx_<8^},

(19)

Hinweise zur expliziten Mengendarstellung

Beschreibung durch Aufzählung oder -listung nur für endliche Mengen möglich

Die Klammern

{

und

}

heißen Mengenklammern oder geschweifte Klammern.

Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle:

{

a

,

b

,

c

}={

c

,

a

,

b

}

Elemente können in der Klammernotation mehrfach auftreten:

{

a

,

b

,

c

}={

a

,

b

,

a

,

b

,

a

,

b

,

c

}

(20)

Hinweise zur impliziten Mengendarstellung

Beschreibung mittels charakteristischer Eigenschaft

{

Element

_∈

Grundbereich

_|

Eigenschaft von Element

} {

x

_∈

G

_|

E (x)

}

(„Menge aller x in G mit der Eigenschaft E“) Bsp.:

{

x

∈N|

x ist eine gerade Zahl

}

Wenn der Grundbereich aus dem Kontext bekannt ist oder sich aus der Eigenschaft ergibt, kann er weggelassen werden.

Bsp.:

{

x

|

x ist eine Primzahl

}

Statt des Symbols ‘

_|

’ verwendet man auch das Symbol ‘:’. Also

{

x

_∈_N

: x ist eine Primzahl

}

(21)

Hinweise zur impliziten Mengendarstellung

Beschreibung mittels rekursiver Definition Beispiel: Menge der Nachkommen von Georg Cantor

1

Festlegung endlich vieler Startelemente:

Die Kinder von Cantor sind Nachkommen von Cantor

2

Konstruktionsvorschrift für zusätzliche Elemente:

Wenn x ein Nachkomme von Cantor ist, dann ist jedes Kind von x ein Nachkomme von Cantor.

3

Einschränkung:

Nichts sonst ist ein Nachkomme von Cantor.

Was ist, wenn Cantor keine Kinder hatte?

Lässt sich so auch die Menge der Nachkommen von Aristoteles

definieren? oder die von Merlin?

(22)

Hinweise zur impliziten Mengendarstellung

Beschreibung mittels rekursiver Definition Beispiel: Menge der Nachkommen von Georg Cantor

1

Festlegung endlich vieler Startelemente:

Die Kinder von Cantor sind Nachkommen von Cantor

2

Konstruktionsvorschrift für zusätzliche Elemente:

Wenn x ein Nachkomme von Cantor ist, dann ist jedes Kind von x ein Nachkomme von Cantor.

3

Einschränkung:

Nichts sonst ist ein Nachkomme von Cantor.

Was ist, wenn Cantor keine Kinder hatte?

Lässt sich so auch die Menge der Nachkommen von Aristoteles

definieren? oder die von Merlin?

(23)

Teilmengen

Eine MengeN ist eineTeilmengeder MengeM (in Zeichen:N⊆M) genau dann, wenn alle Elemente vonNauch Elemente vonMsind.

Wennx∈N, dannx∈M

Wenny_∈M, dann mussy_∈N nicht unbedingt gelten, es kann aber gelten.

Eine MengeN ist eineechte Teilmengeder MengeM (in Zeichen: N_⊂M) genau dann, wennN eine Teilmenge vonM ist und wennM undNungleich sind.

N_⊆M undN₆₌M

Es gibt einy∈Mmity6∈N.

WennN_⊆M, dann istM eineÜbermengevonN(in Zeichen: M_⊇N).

WennM⊇NundM6=Ndann istM eineechte ÜbermengevonN (in Zeichen: M_⊃N).

(24)

Teilmengen

x_∈M: x ist einElementder Menge M 2∈{1,2,3}

26∈{1,3,5}

{3}∈{M|Mist eine Einermenge} {3^}6∈{3^}

N⊆M: Die MengeN ist eineTeilmengeder MengeM {2^,3^}⊆{1^,2^,3^,4^}

{2,3}⊆{2,3}

; ⊆{1,2,3,4}

(Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge!) {3}6⊆{M|M ist eine Einermenge}

N_⊂M: Die MengeN ist eineechte Teilmengeder MengeM {1}⊂{1,2}

{1^,2^}6⊂{1^,2^}

Vorsicht: Die Element-von- und die Teilmengenrelation müssen streng unterschieden werden!

(25)

Mächtigkeit von Mengen

Zwei MengenM undNhaben dieselbeMächtigkeitoder heißengleichmächtig(in Zeichen: |M_{| = |}N_|), wenn es eine eineindeutige Zuordnung der Elemente vonM aufNgibt (d.h., die Zuordnung ordnet jedem Element ausM genau ein Element ausNund jedem Element ausNgenau ein Element ausM zu.)

endliche Mengen

DieMächtigkeiteiner endlichen Menge (in Zeichen: |M|) ist die Anzahl ihrer Elemente.

Beispiele:

|;| =0

|{1,2}| =2

|{{1^,2^}}| =1

Vorsicht: nicht alle unendlichen Mengen sind gleichmächtig!

(26)

Mengenoperationen

(unäre Potenzmengenoperation)

Mengenoperationensind Abbildungen, die einer oder mehreren Mengen eindeutig eine Menge zuordnen. Einstellige Operationen werden auchunäreund zweistellige auchbinäreMengenoperationen genannt.

Die Potenzmengenoperation ist eine unäre Operation, die jeder Menge ihre Potenzmenge zuordnet.

DiePotenzmengeeiner MengeM ist die Menge aller möglichen Teilmengen vonM, alsoP OT(M)={N|N⊆M}. Man schreibt auch 2^M für die Potenzmenge vonM.

P OT({1,2,3})=











{ },

{1 },

{ 2 },

{ 3},

{1, 2 },

{1, 3},

{ 2, 3},

{1, 2, 3},











(27)

Mengenoperationen

(unäre Potenzmengenoperation)

Mengenoperationensind Abbildungen, die einer oder mehreren Mengen eindeutig eine Menge zuordnen. Einstellige Operationen werden auchunäreund zweistellige auchbinäreMengenoperationen genannt.

Die Potenzmengenoperation ist eine unäre Operation, die jeder Menge ihre Potenzmenge zuordnet.

DiePotenzmengeeiner MengeM ist die Menge aller möglichen Teilmengen vonM, alsoP OT(M)={N|N⊆M}. Man schreibt auch 2^M für die Potenzmenge vonM.

P OT({1,2,3})=











{ },

{1 },

{ 2 },

{ 3},

{1, 2 },

{1, 3},

{ 2, 3},

{1, 2, 3},











(28)

Mächtigkeit der Potenzmenge

Für endliche Mengen gilt: istM einen-elementige Menge, so ist|P OT(M)_{| =}2ⁿ.

1 2 3 . . . n

0 0 0 . . . 0

1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

... ...

0 0 0 . . . 1

1 1 0 . . . 0

1 0 1 . . . 0

... ...

1 1 1 . . . 1

2× 2× 2× . . . 2 2ⁿ Möglichkeiten

(29)

Mächtigkeit der Potenzmenge

1 2 3 . . . n

0 0 0 . . . 0

1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

... ...

0 0 0 . . . 1

1 1 0 . . . 0

1 0 1 . . . 0

... ...

1 1 1 . . . 1

(30)

Mächtigkeit der Potenzmenge

1 2 3 . . . n

0 0 0 . . . 0

1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

... ...

0 0 0 . . . 1

1 1 0 . . . 0

1 0 1 . . . 0

... ...

1 1 1 . . . 1

2× 2× 2× . . . 2

2ⁿ Möglichkeiten

(31)

Mächtigkeit der Potenzmenge

1 2 3 . . . n

0 0 0 . . . 0

1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

... ...

0 0 0 . . . 1

1 1 0 . . . 0

1 0 1 . . . 0

... ...

1 1 1 . . . 1

(32)

Mengenoperationen (binäre Mengenoperationen)

Schnitt: A_∩B

„A geschnitten mit B“

A_∩B₌{x_|x_∈Aundx_∈B}

Vereinigung: A∪B

„A vereinigt mit B“ A∪B={x|x∈Aoderx∈B}

Differenz: A\B (oderA₋B)

„A ohne B“ A\B₌{x_|x_∈Aundx_6∈B}

Komplement (inU): C_U(A)

„Komplement von A in U“ C_U(A)=U\A

WennUfeststeht, schreibt man auchA

(33)

Mengenoperationen (binäre Mengenoperationen)

Schnitt: A_∩B

Vereinigung: A∪B

„A vereinigt mit B“

A∪B={x|x∈Aoderx∈B}

„A ohne B“ A\B₌{x_|x_∈Aundx_6∈B}

(34)

Mengenoperationen (binäre Mengenoperationen)

Schnitt: A_∩B

Vereinigung: A∪B

„A ohne B“

A\B₌{x_|x_∈Aundx_6∈B}

(35)

Mengenoperationen (binäre Mengenoperationen)

Schnitt: A_∩B

Vereinigung: A∪B

„A ohne B“

A\B₌{x_|x_∈Aundx_6∈B}

„Komplement von A in U“

C_U(A)₌U\A

(36)

Mengenoperationen

Beispiele

A={1,2,3,4},B={3,4,5},U={1,2,3,4,5,6,7},

A_∪B₌{1^,2^,3^,4^,5^},A_∩B₌{3^,4^} A\B={1,2},A={5,6,7} Notation

Zwei MengenAundB mit leerem Schnitt heißendisjunkt(A_∩B_{= ;}). WennAeine Menge von Mengen ist, schreiben wir^SAfür die Vereinigung aller Elemente vonA(Bsp.: ^S^{B,C,D}=B_∪C_∪D)

WennAeine Menge von Mengen ist, schreiben wir^TAfür den Schnitt aller Elemente vonA(Bsp.: ^T^{B,C,D}=B_∩C_∩D)

Häufig werden auch Indizes und Indexmengen zur Notation verwendet. Bsp.: SeiA_i={x∈N0|x≤i}, dann

[ 3_≤i_≤5

A_i₌{0^,1^,2^,3^,4^,5^}und ^\ 3_≤i_≤5

A_i₌{0^,1^,2^,3^}

(37)

Mengenoperationen

Beispiele

A={1,2,3,4},B={3,4,5},U={1,2,3,4,5,6,7}, A_∪B₌{1^,2^,3^,4^,5^},A_∩B₌{3^,4^} A\B={1,2},A={5,6,7}

Notation

Zwei MengenAundB mit leerem Schnitt heißendisjunkt(A_∩B_{= ;}). WennAeine Menge von Mengen ist, schreiben wir^SAfür die Vereinigung aller Elemente vonA(Bsp.: ^S^{B,C,D}=B_∪C_∪D)

Häufig werden auch Indizes und Indexmengen zur Notation verwendet. Bsp.: SeiA_i={x∈N0|x≤i}, dann

[ 3_≤i_≤5

A_i₌{0^,1^,2^,3^,4^,5^}und ^\ 3_≤i_≤5

A_i₌{0^,1^,2^,3^}

(38)

Mengenoperationen

Beispiele

A={1,2,3,4},B={3,4,5},U={1,2,3,4,5,6,7}, A_∪B₌{1^,2^,3^,4^,5^},A_∩B₌{3^,4^} A\B={1,2},A={5,6,7} Notation

Zwei MengenAundB mit leerem Schnitt heißendisjunkt(A_∩B_{= ;}).

WennAeine Menge von Mengen ist, schreiben wir^SAfür die Vereinigung aller Elemente vonA(Bsp.: ^S^{B,C,D}=B_∪C_∪D)

Häufig werden auch Indizes und Indexmengen zur Notation verwendet.

Bsp.: SeiA_i₌{x_∈N0|x_≤i}, dann [

3_≤i_≤5

A_i₌{0,1,2,3,4,5}und ^\ 3_≤i_≤5

A_i₌{0,1,2,3}

(39)

Eigenschaften der Mengenoperationen (Schnitt und Vereinigung)

Kommutativgesetze:

A

_∩

B

₌

B

_∩

A A

_∪

B

₌

B

_∪

A

Assoziativgesetze:

(A

∩

B)

∩

C

₌

A

_∩

(B

∩

C ) (A

∪

B)

∪

C

₌

A

_∪

(B

∪

C )

Distributivgesetze:

(A

∩

B)

∪

C

₌

(A

∪

C )

∩

(B

∪

C ) (A

∪

B)

∩

C

=

(A

∩

C )

∪

(B

∩

C )

Idempotenzgesetze: A

_∩

A

₌

A A

∪

A

=

A

;

ist neutrales Element der Vereinigung: A

_{∪ ; = ; ∪}

A

₌

A

Gibt es auch ein neutrales Element des Schnitts?

(40)

Eigenschaften der Mengenoperationen (Schnitt und Vereinigung)

Kommutativgesetze:

A

_∩

B

₌

B

_∩

A A

_∪

B

₌

B

_∪

A

Assoziativgesetze:

(A

∩

B)

∩

C

₌

A

_∩

(B

∩

C ) (A

∪

B)

∪

C

₌

A

_∪

(B

∪

C )

Distributivgesetze:

(A

∩

B)

∪

C

₌

(A

∪

C )

∩

(B

∪

C ) (A

∪

B)

∩

C

=

(A

∩

C )

∪

(B

∩

C )

Idempotenzgesetze: A

_∩

A

₌

A A

∪

A

=

A

;

ist neutrales Element der Vereinigung: A

_{∪ ; = ; ∪}

A

₌

A

Gibt es auch ein neutrales Element des Schnitts?

(41)

Eigenschaften der Mengenoperationen (Schnitt und Vereinigung)

Kommutativgesetze:

A

_∩

B

₌

B

_∩

A A

_∪

B

₌

B

_∪

A

Assoziativgesetze:

(A

∩

B)

∩

C

₌

A

_∩

(B

∩

C ) (A

∪

B)

∪

C

₌

A

_∪

(B

∪

C )

Distributivgesetze:

(A

∩

B)

∪

C

₌

(A

∪

C )

∩

(B

∪

C ) (A

∪

B)

∩

C

=

(A

∩

C )

∪

(B

∩

C )

Idempotenzgesetze: A

_∩

A

₌

A A

∪

A

=

A

;

ist neutrales Element der Vereinigung: A

_{∪ ; = ; ∪}

A

₌

A

Gibt es auch ein neutrales Element des Schnitts?

(42)

Eigenschaften der Mengenoperationen (Schnitt und Vereinigung)

Kommutativgesetze:

A

_∩

B

₌

B

_∩

A A

_∪

B

₌

B

_∪

A

Assoziativgesetze:

(A

∩

B)

∩

C

₌

A

_∩

(B

∩

C ) (A

∪

B)

∪

C

₌

A

_∪

(B

∪

C )

Distributivgesetze:

(A

∩

B)

∪

C

₌

(A

∪

C )

∩

(B

∪

C ) (A

∪

B)

∩

C

=

(A

∩

C )

∪

(B

∩

C )

Idempotenzgesetze:

A

_∩

A

₌

A A

_∪

A

₌

A

;

ist neutrales Element der Vereinigung: A

_{∪ ; = ; ∪}

A

₌

A

Gibt es auch ein neutrales Element des Schnitts?

(43)

Eigenschaften der Mengenoperationen (Schnitt und Vereinigung)

Kommutativgesetze:

A

_∩

B

₌

B

_∩

A A

_∪

B

₌

B

_∪

A

Assoziativgesetze:

(A

∩

B)

∩

C

₌

A

_∩

(B

∩

C ) (A

∪

B)

∪

C

₌

A

_∪

(B

∪

C )

Distributivgesetze:

(A

∩

B)

∪

C

₌

(A

∪

C )

∩

(B

∪

C ) (A

∪

B)

∩

C

=

(A

∩

C )

∪

(B

∩

C )

Idempotenzgesetze:

A

_∩

A

₌

A A

_∪

A

₌

A

;

ist neutrales Element der Vereinigung: A

_{∪ ; = ; ∪}

A

₌

A

Gibt es auch ein neutrales Element des Schnitts?

(44)

Eigenschaften der Mengenoperationen (Schnitt und Vereinigung)

Kommutativgesetze:

A

_∩

B

₌

B

_∩

A A

_∪

B

₌

B

_∪

A

Assoziativgesetze:

(A

∩

B)

∩

C

₌

A

_∩

(B

∩

C ) (A

∪

B)

∪

C

₌

A

_∪

(B

∪

C )

Distributivgesetze:

(A

∩

B)

∪

C

₌

(A

∪

C )

∩

(B

∪

C ) (A

∪

B)

∩

C

=

(A

∩

C )

∪

(B

∩

C )

Idempotenzgesetze:

A

_∩

A

₌

A A

_∪

A

₌

A

;

ist neutrales Element der Vereinigung: A

_{∪ ; = ; ∪}

A

₌

A

Gibt es auch ein neutrales Element des Schnitts?

(45)

Gesetze der Komplementoperation

de Morgan:

A

_∩

B

₌

A

_∪

B A

_∪

B

₌

A

_∩

B

weitere Gesetze:

A

₌

A

∩

A

= ;

(46)

Gesetze der Komplementoperation

de Morgan:

A

_∩

B

₌

A

_∪

B A

_∪

B

₌

A

_∩

B

weitere Gesetze:

A

₌

A

∩

A

= ;

(47)

Gesetze der Komplementoperation

de Morgan:

A

_∩

B

₌

A

_∪

B A

_∪

B

₌

A

_∩

B

weitere Gesetze:

A

₌

A

∩

A

= ;

(48)

Relationen Äquivalenzrelation Funktion

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Relationen und Funktionen

Dozentin: Wiebke Petersen

2. Foliensatz

(49)

n-Tupel und Cartesisches Produkt

Mengen sind ungeordnet, häufig werden jedoch geordnete Listen benötigt:

n-Tupel

Einn-Tupel ist eine Liste mitn_≥1 Elementen. Im Gegensatz zu Mengen ist die Reihenfolge festgelegt und jedes Element kann beliebig oft vorkommen.

Beispiel: 〈2,3,1〉,〈b,e,e,s,i,i,p,l_〉

2-Tupel werden auch(geordnete) Paaregenannt.

Cartesisches Produkt

DasCartesische Produkt(oder Kreuzprodukt) von n MengenM₁. . .Mnist die Menge aller n-Tupel deren i-tes Element ausM_i stammt.

M₁×. . .×Mn:={〈x₁, . . . ,xn〉|x_i∈M_i füri=1, . . . ,n}

StattM_×M_{×. . .}_×M schreibt man auchMⁿ, wennM genaun-mal auftritt. Beispiel

M₁={a,b,c},M₂={a,d}

M₁_×M₂₌{〈a,a_〉,〈a,d_〉,〈b,a_〉,〈b,d_〉,〈c,a_〉,〈c,d_〉} M₁_{× ; = ;}

(50)

n-Tupel und Cartesisches Produkt

n-Tupel

DasCartesische Produkt(oder Kreuzprodukt) von n MengenM₁. . .Mn ist die Menge aller n-Tupel deren i-tes Element ausM_i stammt.

StattM_×M_{×. . .}_×M schreibt man auchMⁿ, wennM genaun-mal auftritt.

Beispiel

M₁={a,b,c},M₂={a,d}

M₁_×M₂₌{〈a,a_〉,〈a,d_〉,〈b,a_〉,〈b,d_〉,〈c,a_〉,〈c,d_〉} M₁_{× ; = ;}

(51)

n-Tupel und Cartesisches Produkt

n-Tupel

Beispiel

M₁={a,b,c},M₂={a,d}

M₁_×M₂₌{〈a,a_〉,〈a,d_〉,〈b,a_〉,〈b,d_〉,〈c,a_〉,〈c,d_〉} M₁× ; =

;

(52)

n-Tupel und Cartesisches Produkt

n-Tupel

Beispiel

M₁={a,b,c},M₂={a,d}

M₁_×M₂₌{〈a,a_〉,〈a,d_〉,〈b,a_〉,〈b,d_〉,〈c,a_〉,〈c,d_〉} M₁× ; = ;

(53)

Relationen

Definition

Eine Teilmenge des Cartesischen Produktes von n Mengen R_⊆M₁_{× · · · ×}M_n heißt n-stellige Relation.

Eine Relation R ist also eine Menge von n-Tupeln.

Hinweis: Relationen werdenextensionaldefiniert. Es ist unerheblich, wie die Relation charakterisiert (oder benannt) wird. Wichtig ist allein, welche Objekte zueinander in der Relation stehen.

Für Relationen werden häufig die BuchstabenR,S,T verwendet. Beispiele

Schwester von Mutter von

weibliches Elternteil von bilden ein Quartet Teilmenge von

(54)

Relationen

Definition

Für Relationen werden häufig die BuchstabenR,S,T verwendet.

Beispiele

(55)

Relationen

Definition

Für Relationen werden häufig die BuchstabenR,S,T verwendet.

Beispiele

(56)

binäre Relationen

binäre Relationen sind Mengen geordneter Paare wennain der RelationR zub steht, dann schreibt man

〈a,b_{〉 ∈}R oder aRb oder R(a,b)oder Rab

WennR_⊆A_×B, dann sagt man, dassR eine Relation zwischenAundB ist.

WennR⊆A×A, dann sagt man, dassR eine Relation aufAist.

(57)

Frage

Denken Sie sich möglichst viele binäre Relationen aus.

1 Minute zum Nachdenken und

Diskutieren

(58)

inverse und komplementäre Relation

inverse Relation

Die inverse Relation zu einer binären Relation R

_⊆

A

_×

B ist die Relation

R

⁻¹₌{〈

b

,

a

_{〉 ∈}

B

_×

A

_|〈

a

,

b

_{〉 ∈}

R

}

. komplementäre Relation

Die komplementäre Relation zu einer binären Relation R

⊆

A

×

B zwischen A und B ist die Relation

R

⁰₌

A

_×

B

\

R.

(59)

Beispiel: Verwandtschaftsterme

Beispielfamilie

Outline Functional Concepts Frames Conclusion

Interpretation of Relational Concepts

example

example family Ann ⊗ Tom

Sue Bob ⊗ Liz

Tim Pam Max

‘mother’ denotational δ( mother ) = { Ann, Liz }

‘mother’ relational (‘mother of’) Sue y Ann

Bob y Ann Tim y Liz Pam y Liz Max y Liz

Functional Concepts and Frames Wiebke Petersen

‚hat als Sohn‘

Ann R

_son

Bob

Tom R

son

Bob

Bob R

son

Max

Bob R

_son

Tim

Liz R

son

Max

Liz R

son

Tim

(60)

Beispiel: Verwandtschaftsterme

Beispielfamilie

Outline Functional Concepts Frames Conclusion

Interpretation of Relational Concepts

example

example family Ann ⊗ Tom

Sue Bob ⊗ Liz

Tim Pam Max

‘mother’ denotational δ( mother ) = { Ann, Liz }

‘mother’ relational (‘mother of’) Sue y Ann

Bob y Ann Tim y Liz Pam y Liz Max y Liz

Functional Concepts and Frames Wiebke Petersen

‚hat als Mutter‘

Sue R

mother

Ann

Bob R

_mother

Ann

Tim R

_mother

Liz

Pam R

mother

Liz

Max R

mother

Liz

(61)

Frage

Können Sie die komplementären und die inversen Relationen Ihrer Beispielrelationen benennen?

1 Minute zum Nachdenken und

Diskutieren

(62)

Eigenschaften binärer Relationen

SeiR_⊆A_×Aeine binäre Relation aufA. R istreflexivg.d.w. für allea∈Agilt, dassaRa.

Ristirreflexivg.d.w. für keina∈Agilt, dassaRa

a b

a

a b c

a b

a

Die Relation ‚hat am selben Tag Geburtstag‘ auf der Menge der Menschen ist reflexiv.

Die Relation ‚ist Mutter von‘ auf der Menge der Menschen ist irreflexiv. Die Relation ‚kann die Quersumme des Geburtstags von berechnen‘ auf der Menge der Menschen ist weder reflexiv noch irreflexiv.

Welche Bedingungen erfüllen die Beispielrelationen an der Tafel?

(63)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

(64)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

(65)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

Die Relation ‚ist Mutter von‘ auf der Menge der Menschen ist irreflexiv.

Die Relation ‚kann die Quersumme des Geburtstags von berechnen‘ auf der Menge der Menschen ist weder reflexiv noch irreflexiv.