Analysis I für M, LaG/M, Ph 6.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 6.Übungsblatt

Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010

Dr. Robert Haller-Dintelmann 19.05.2010

David Bücher

Christian Brandenburg

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Arithmetisches und Geometrisches Mittel)

Es seien zwei Zahlena₁,b₁∈Rmit0<a₁< b₁gegeben. Damit definieren wir rekursiv die beiden Folgen a_n∞ n=1und b_n∞

n=1durch

a_n+1:=p

a_nb_n, n∈N und b_n+1:= a_n+b_n

2 , n∈N.

Zeigen Sie:

(a) 0≤a_n≤b_nfür allen≥2.

(b) (a_n)ist monoton wachsend und(b_n)ist monoton fallend.

(c) Beide Folgen sind konvergent.

(d) Es giltlim_n→∞a_n=lim_n→∞b_n. Aufgabe G2 (Reihen)

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Reihenwert.

(a) X∞ n=0

5·3ⁿ

4ⁿ⁺², (b) X∞ n=1

1+1

n n

,

(c) X∞ n=0

ⁿ X

k=0

n k

1 2

n+k

, (d)

X∞ k=2

2 k²−1.

Aufgabe G3 (Riemann I)

Sei (a_n) eine reelle Folge und a⁺_n := max{a_n, 0},a⁻_n := max{−a_n, 0}. Zeigen Sie: Ist P∞

n=1a_n konvergent, aber nicht absolut konvergent, dann sindP∞

n=1a⁺_n undP∞

n=1a⁻_n jeweils divergent.

Hausübung

Aufgabe H1 (Teleskopsummen)

(a) Zeigen Sie: Jede reelle Folge ist Folge von Partialsummen einer Reihe.

(b) Seikeine natürliche Zahl,(a_n)eine Nullfolge undb_n=a_n−a_n+k. Zeigen Sie: Dann konvergiert die ReiheP∞ n=1b_n gegena₁+a₂+· · ·+a_k.

(c) Bestimmen Sie den Wert der ReiheP∞ n=1

1 n²+k·n.

1

Aufgabe H2 (Reihen)

Untersuchen Sie auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls den Reihenwert.

(a) X∞ n=5

n+1

n²+3n+2, (b) X∞ n=1

(3ⁿ⁺⁵)² 11·2³ⁿ.

(c) X∞ n=1

1

n(n+1)(n+2), (d) X∞ n=2

3ⁿ+ (−1)ⁿ 4ⁿ .

Aufgabe H3 (Eine Abwandlung der geometrischen Reihe) Seiq∈Rmit|q|<1.

(a) Beweisen Sie mit Induktion

n

X

k=1

k·q^k−1=1−(n+1)qⁿ+nqⁿ⁺¹ (1−q)² . (b) Untersuchen Sie die ReiheP_∞

k=1k·q^k−1auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Tipp:Betrachten Sie zunächst die Folge pn

(n+1)|q|ⁿ∞ n=1.

Bemerkung:Sie werden bald lernen, wie sich der Grenzwert dieser Reihe einfacher berechnen lässt.

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