Hans Walser, [20160605]
Sehnenverhältnisse 1 Problemstellung
Gegeben sind zwei Kreise k1(M1, r1) und k2(M2, r2), ein Punkt P und ein Verhältnis v.
Gesucht ist eine Gerade durch P, welche aus den Kreisen k1 und k2 zwei Sehnen s1 be- ziehungsweise s2 mit dem Längenverhältnis v herausschneidet.
2 Konstruktion
Zu den beiden Kreisen k1 und k2 zeichnen wir drei gemeinsame Tangenten und untertei- len die Tangentenabschnitte zwischen den Berührungspunkten im Verhältnis v. Durch die drei Teilpunkte legen wir den Kreis k. Falls wir nur zwei gemeinsame Tangenten haben, wählen wir als dritten Punkt für k einen Schnittpunkt der beiden gegebenen Kreise.
Die Strecke M1M2 unterteilen wir ebenfalls im Verhältnis v. Teilpunkt O.
Über OP zeichnen wir den Thaleskreis t.
Wir schneiden k und t. Schnittpunkt S.
PS ist die gesuchte Gerade. Die Konstruktion ist mit Zirkel und Lineal durchführbar.
3 Illustration der Konstruktion
Die Abbildung 1 zeigt die gegebenen Daten. In den Abbildungen ist v = 2:1.
Abb. 1: Zwei Kreise und ein Punkt
Zu den beiden Kreisen k1 und k2 zeichnen wir drei gemeinsame Tangenten und untertei- len die Tangentenabschnitte zwischen den Berührungspunkten im Verhältnis v (rot in Abb. 2).
P
k1 M1
M2
k2
Hans Walser: Sehnenverhältnisse 2 / 4
Abb. 2: Unterteilung der Tangentenabschnitte
Durch die drei Teilpunkte legen wir den Kreis k (Abb. 3). Dieser Kreis ist ein so ge- nannter Chordalkreis.
Abb. 3: Chordalkreis
Die Strecke M1M2 unterteilen wir ebenfalls im Verhältnis v. Teilpunkt O (Abb. 4).
P
k1 M1
M2
k2
P
k1 M1
M2
k2 k
Hans Walser: Sehnenverhältnisse 3 / 4
Abb. 4: Teilpunkt zwischen Mittelpunkten
Über der Strecke OP zeichnen wir den Thaleskreis t (Abb. 5). Wir schneiden k und t.
Schnittpunkt S.
Abb. 5: Thaleskreis P
k1 M1
M2
k2 O
k
P
k1 M1
M2
k2 O
k t
S
Hans Walser: Sehnenverhältnisse 4 / 4 PS ist die gesuchte Gerade (Abb. 6).
Abb. 6: Lösung
Websites
Abgerufen 5. Juni 2016 Chordalkreis:
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/C/Chordalkreis/Chordalkreis.htm P
k1 M1
M2
k2 S
