Hans Walser, [20160531]
Gleiche Sehnen
Idee und Anregung: W. K., F.
1 Problem
Zu zwei Kreisen k1(M1, r1) und k2(M2, r2) soll eine Gerade g durch einen gegebenen Punkt P gefunden werden, welche aus den beiden Kreisen gleich lange Sehnen heraus- schneidet (Abb. 1).
Abb. 1: Gleich lange Sehnen
2 Experimentelle Lösung 2.1 Propeller
Wir zeichnen von P aus einen Strahl, welcher den Kreis k2 schneidet, und tragen die Sehnenlänge von P aus auf dem Strahl ab (Abb. 2).
Abb. 2: Sehnenlänge P
k1
k2 g
P
k2
Hans Walser: Gleiche Sehnen 2 / 4 So entsteht eine Kurve mit einer Spitze. Aus Liebe zur Symmetrie spiegeln wie sie an P.
Damit erhalten wir einen Propeller (Abb. 3).
Abb. 3: Propeller
2.2 Schnitt zweier Propeller
Wir zeichnen nun für beide Kreise je den Propeller (Abb. 4). Die gesuchte Gerade geht durch deren Schnittpunkt. In unserem Beispiel gibt es zwei Lösungen.
Abb. 4: Lösungen P
k1
k2 g1
g2
Hans Walser: Gleiche Sehnen 3 / 4
3 Zirkel und Lineal 3.1 Potenzgerade
Mit S bezeichnen wir die Mitte zwischen den zwei gleich langen Sehnen (Abb. 5). Der Punkt S hat gegenüber beiden Kreisen die gleiche Potenz, er liegt also auf der Potenzge- raden h der beiden Kreise.
Abb. 5: Potenzgerade
3.2 Mittelparallele
Die Normale in S auf die Gerade g ist Mittelparallele der beiden Mittelsenkrechten der gleich langen Sehnen (Abb. 6). Diese Normale verläuft also auch durch den Mittelpunkt O der Strecke M1M2 (Strahlensätze). Daher liegt der Punkt S auf dem Thaleskreis t über der Strecke OP.
Abb. 6: Mittelparallele und Thaleskreis k1
k2 M2 M1
S h g
P
k1
k2 M2 M1
O S
g t
Hans Walser: Gleiche Sehnen 4 / 4
3.3 Lösung
Wir finden S also als Schnittpunkt der Potenzgeraden h mit dem Thaleskreis t (Abb. 7).
Damit kann g gezeichnet werden. In unserem Beispiel gibt es zwei Lösungen.
Abb. 7: Lösung
4 Problemvariante
Gesucht ist eine Gerade g, welche aus beiden Kreisen gleich lange Sehnen heraus- schneidet und zu einer gegebenen Geraden p parallel ist.
Die Lösung sei der geneigten Leserin überlassen.
P O
S1
S2
g1
g1 h
t
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