Ubungen zu Funktionalanalysis I ¨

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨usseldorf, den 10.12.2018 Blatt 10

Ubungen zu Funktionalanalysis I ¨

1. F¨ur eine BorelmengeB sei das Wahrscheinlichkeitsmaßµ gegeben durch µ(B) = 1

√π Z

B

e^−x2dλ₁(x).

F¨urn∈N0 sei

H_n(x) := (−1)ⁿe^x2 dⁿ dxⁿe^−x2 dasn-te Hermite-Polynom.

(a) (5P) Seien 0≤n < mfest. Zeigen Sie die Existenz von Polynomenq0, . . . , qn, so dass der Grad von q_j h¨ochstensj ist und

(Hn, Hm)_L²_(µ)= Z

qn−j

d^m−j

dx^m−je^−x2dλ1(x).

(b) (4P) Zeigen Sie, dass H_n⊥H_m f¨urn6=m.

(c) (1P) Zeigen Sie, dassH_n den Grad nbesitzt.

2. (a) (3P) Zeigen Sie H_n⁰ = 2nHn−1 f¨urn∈N. Hinweis: Leibniz-Formel

(b) (7P) Bestimmen Sie die Jacobi-Parameter des Maßesµ aus Aufgabe 1.

Hinweis:Die Hermite-Polynome sind weder die großenP_nnoch die kleinenp_n im Sinne von 16.3.

3. Es sei Jn die n-te Jacobi-Matrix wie in Formel (16.3) von Satz 16.9 und es sei Dn(x) := det(x−Jn).

(a) (3P) Zeigen Sie

Dn(x) = (x−bn)Dn−1(x)−a²_n−1Dn−2(x).

(b) (6P) Zeigen Sie mittels vollst¨andiger Induktion, dass det(x−J_n) = P_n, f¨ur das durch die Jacobi-Parameter bestimmtePn.

(c) (1P) Verwenden Sie Teil (b), um erneut zu beweisen, dass alle Nullstellen von P_n reell sind.

4. (10P) SeiA∈L(C^N) selbstadjungiert. Zeigen Sie, dassA genau dann einen zykli- schen Vektor besitzt, wenn alle Eigenwerte vonA verschieden sind.

Abgabe:Mo, 17.12.2018, in der Vorlesung Besprechung:19. Januar