Ubungen zu Funktionalanalysis I ¨

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 05.11.2018 Blatt 5

Ubungen zu Funktionalanalysis I ¨

1. (a) (5P) Beweisen Sie den zweiten Teil von Satz 6.8:

Ist A : E → F eine stetig lineare Abbildung zwischen lokalkonvexen R¨ aumen, so ist A ⁰ : F _σ ⁰ → E _σ ⁰ stetig.

(b) (5P) Es sei E = H( C ). Nach Beispiel 6.1 kann E ⁰ mit dem Raum F =

n

(a j ) j∈ N

∈ C ^N

∃R, C > 0∀f ∈ N 0 : |a _j | ≤ CR ^j o

identifiziert werden. Bestimmen Sie A ⁰ : C → F f¨ ur A : H( C ) → C , Af = f ⁰ (i).

2. (10P) F¨ ur x ∈ R sei δ _x ∈ C( R ) ⁰ definiert durch hδ _x , f i = f (x).

Konvergiert die Folge (δ _1/n ) n∈ N in C( R ) ⁰ _b gegen δ ₀ ? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

3. (10P) Es sei X ein metrischer Raum. Wir sagen, eine Menge M ⊆ X sei gleichm¨ aßig beschr¨ ankt, wenn es zu jedem > 0 ein N ∈ N gibt, so dass zu je zwei x, y ∈ M eine Kette x 0 , x 1 , . . . , x _N ∈ X existiert, so dass x 0 = x, x _N = y und d(x j , x j+1 ) ≤ f¨ ur j = 0, . . . , N − 1.

Sei nun E ein metrischer lokalkonvexer Raum mit Fundamentalsystem p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ . . . von Halbnormen. Die Metrik d von E sei gem¨ aß Lemma 3.2 aus den p _n konstruiert.

Zeigen Sie, dass eine Menge M ⊆ E genau dann beschr¨ ankt in der lokalkonvexen Topologie auf E ist, wenn M gleichm¨ aßig beschr¨ ankt in der Metrik d ist.

4. (10P) F¨ ur ein unbeschr¨ anktes Gebiet G ⊂ C bestehe H 0 (G) aus allen holomorphen Funktionen f : G → C mit lim _|z|→∞ f (z) = 0. Ferner sei

G := [

0<r<1

H 0 ( C \ B r (0)).

F¨ ur f ∈ H(B ₁ (0)) und g ∈ G sei die Bilinearform hg, f i := 1

2πi Z

∂B

(0)

f (ζ)g(ζ )dζ

definiert, wobei f¨ ur g ∈ H ₀ ( C \B _r (0)) der Radius ρ beliebig in ]r, 1[ gew¨ ahlt wird. Zeigen Sie, dass vermittels dieser Bilinearform der Raum G zum Dualraum von H(B 1 (0)) wird.

Hinweis: Laurentreihe

Abgabe: Mo, 12.11.2018, in der Vorlesung Besprechung: 21. November