Schwankungen: Betrachte ∂Z ∂β = −X α Eαe−βEα ⇒ hEi=−1 Z ∂Z ∂β ∂2Z ∂β2 = X α Eα2e−βEα ⇒ hE2i= 1 Z ∂2Z ∂β2 ∂hEi ∂β = 1 Z2 ∂Z ∂β 2 − 1 Z ∂2Z ∂β2 ⇒ h(∆E)2i = −∂hEi ∂β

Karlsruher Institut Institut f¨ur Theorie der

f¨ur Technologie (KIT) Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 09

Prof. Dr. A. Shnirman L¨osungsvorschlag zu Blatt 5

Dr. S. Rachel 26.5.2009

1. Statistische Gesamtheiten:

(a) Kanonische Gesamtheit: (T, N, V) :N, V sind Randbedingungen f¨ur die Zust¨ande, die zur Zustandssumme beitragen; T durch angekoppeltes W¨armebad. Zustands- summe:

Z(T, N, V) =X

α

e^−βEα, U(T, N, V) = hEi= 1 Z

X

α

Eαe^−βEα.

Schwankungen: Betrachte

∂Z

∂β = −X

α

Eαe^−βEα ⇒ hEi=−1 Z

∂Z

∂β

∂²Z

∂β² = X

α

E_α²e^−βEα ⇒ hE²i= 1 Z

∂²Z

∂β²

∂hEi

∂β = 1 Z²

∂Z

∂β 2

− 1 Z

∂²Z

∂β²

⇒ h(∆E)²i = −∂hEi

∂β ≡ − ∂U

∂β

N,V

=kT² ∂U

∂T

N,V

| {z }

=cV

(b) Großkanonische Gesamtheit: (T, µ, V) :V ist Randbedingung; T durch W¨armebad, µdurch angekoppeltes Teilchenreservoir. Zustandssumme:

Z(T, µ, V) =X

α

e^{−β(Eα−µNα)}

U =hEi= 1 Z

X

α

Eαe^−β(...), N =hNi= 1 Z

X

α

Nαe^−β(...).

Schwankung der Teilchenzahl:

∂Z

∂µ

β

= βX

α

Nαe^{−β(Eα−µNα)} ⇒ 1 Z

∂Z

∂µ

β

=βhNi 1

Z

∂²Z

∂µ²

β

= β²hN²i ∂hNi

∂µ

β

= 1 β

1 Z

∂²Z

∂µ²

β

− 1 β

1 Z²

∂Z

∂µ 2

β

⇒ h(∆N)²i = 1 β

∂hNi

∂µ

β

=kT ∂N

∂µ

T,V

Schwankung der Energie: Es ist sinnvoll, β und βµ als unabh¨angige Variablen zu betrachten: Z =Z(β, βµ, V) =X

α

e^{−βEα+βµNα}. Dann 1

Z ∂Z

∂β

βµ

=−hEi , 1 Z

∂²Z

∂β²

βµ

=hE²i , etc.

⇒ h(∆E)²i=−

∂hEi

∂β

βµ

=− ∂U

∂β

βµ,V

=kT² ∂U

∂T

µ T,V

(c) Schwankungen der Dichten: (V wird bei allen Ableitungen in a), b) konstant ge- halten)

e=E/V ⇒ h(∆e)²i= 1

V²h(∆E)²i=kT² 1 V²

∂U

∂T

µ T,V

= kT² V

∂hei

∂T

µ T,V

n =N/V ⇒ h(∆n)²i= 1

V²h(∆N)²i=kT 1 V²

∂N

∂µ

T,V

= kT V

∂hni

∂µ

T,V

Die Dichtenhei, hnisind intensive Gr¨oßen, d.h., von der Systemgr¨oße unabh¨angig.

V dagegen ist extensiv (prop. zur Systemgr¨oße), d.h., im thermodynamischen Limes verschwinden die Schwankungen der Dichten, h(∆e)²i → 0, h(∆n)²i → 0 . Wenn aberhEibzw.hNikeine Schwankungen besitzen, heißt dies nichts anderes alshEi= E und hNi=N und die Gesamtheiten werden ¨aquivalent.

2. Reißverschlußmodell eines DNS-Molek¨uls:

(a) Mikrozust¨ande: {α}=(Anz. offener Bindungen)= {p}, p= 0,1,2, . . . ,(N −1) . Energie: E_α =E(p) = (N −p) Ω

Zustandssumme:

Z =X

α

e^−βEα =

N−1

X

p=0

e^{−βΩ (N−p)}

⇒ Z =e^−βΩN

N−1X

p=0

(e^βΩ)^p =e^−βΩN1−(e^βΩ)^N

1−e^βΩ = e^−βΩN −1 1−e^βΩ (Bronstein.)

(b) Versuche, den Mittelwert als Ableitung der Zustandssumme darzustellen:

hpi= 1 Z

X

α

pαe^−βEα = 1 Z

N−1X

p=0

p e^{−βΩ (N−p)}

⇒ hpi= 1 Z

N−1X

p=0

(p−N)e^{−βΩ (N−p)}

| {z }

= ∂Z

∂(βΩ)

+N 1 Z

N−1

X

p=0

e^{−βΩ (N−p)}

| {z }

= 1

=N + 1 Z

∂Z

∂(βΩ)

⇒ hpi=N+1 Z

(−N)e^−βΩN

1−e^βΩ − e^−βΩN −1

(1−e^βΩ)²(−e^βΩ)

=N+

(−N) e^−βΩN

e^−βΩN −1 + e^βΩ 1−e^βΩ

⇒ hpi= N

1−e^−βΩN − 1 1−e^−βΩ Anteil offener Bindungen f¨ur N → ∞:

Ω>0 : e^−βΩN →0 ⇒ hpi

N ≃

1− 1 N

1 1−e^−βΩ

| {z }

>0

−→ 1−

Ω<0 : e^−βΩN → ∞ ⇒ hpi

N ≃ 1

N 1 e^−βΩ−1

| {z }

>0

−→ 0+

3. Paramagnetismus lokalisierter Spins:

(a) Mikrozust¨ande: {α}={m₁, m₂, m₃, . . . , m_N} , m_i ∈ {−J, . . . , J} Energien: Eα =

XN

i=1

εi =−B(m1+m2+. . .+mN) Kanonische Zustandssumme:

Z = X

α

e^−βEα = XJ

m1=−J

XJ

m2=−J

. . . XJ

mN=−J

exp βB(m1+m2+. . .+mN)

= YN

i=1

XJ

mi=−J

e^{βB mi}

!

= YN

i=1

Zi

Die Zi sind offenbar alle gleich (identische Atome),

⇒ Z = (Z₁)^N , Z₁ = XJ

m=−J

e^{βB m}

Berechnung:

Z1 =e^−βBJ XJ

m=−J

e^βB(m+J)=e^−βBJ X2J

p=0

e^{βB p} mit p= (m+J)

⇒ Z1 =e^−βBJ1−e^βB(2J+1)

1−e^βB = e^−βBJ −e^βB(J+1) 1−e^βB Das kann man jetzt so lassen; oder:

·e^−βB/2 ⇒ Z1 = e^{βB2 (2J+1)}−e^{−βB2 (2J+1)}

e^βB2 −e^−βB2 = sinh βB^2J+1₂ sinh βB¹₂

(b) Magnetisierung:

M =h XN

i=1

mii= XN

i=1

hmii

hmii = 1 Z

X

m1

X

m2

. . .X

mN

mie^{βB(m1+...+mN)}

= X

m1

e^{βB m1}. . .X

mi

mie^{βB mi}. . .X

mN

e^{βB mN}

Z1. . . Zi. . . ZN

= 1

Zi

X

mi

m_ie^{βB mi}

⇒ hmii=hm1i ⇒ M =Nhm1i , hm1i= 1 Z1

X

m

m e^{βB m}

Berechnung: Offenbar l¨aßt sich das als Ableitung vonZ darstellen:

hm₁i= 1 Z1

∂Z1

∂(βB)

⇒ hm1i= sinh βB¹₂ sinh βB^2J+1₂

"

2J + 1 2

cosh βB^2J₂⁺¹

sinh βB¹₂ − sinh βB^2J+1₂

sinh² βB¹₂ cosh βB1 2

1 2

#

⇒ hm1i=

2J + 1 2

coth βB2J + 1 2

− 1

2coth βB1 2

(c) Kleines Feld: βB ≪1 :

x≪1 : coth(x) = 1 x+ x

3 +O(x³)

⇒ hm1i= 1

βB − 1 βB

+1

3

"

2J + 1 2

2

− 1

2 2#

| {z }

=J(J + 1)

βB+O(βB)³

⇒ hm1i= B kT

J(J+ 1)

3 +O(B/kT)³ f¨ur B kT ≪1 Großes Feld: βB ≫1 :

x≫1 : coth(x) = e^x+e^−x

e^x−e^−x = 1 +e^−2|x|

1−e^−2|x|sgn(x)

⇒ coth(x) = (1 +e^−2|x|)(1 +e^−2|x|) sgn(x) +. . .= (1 + 2e^−2|x|) sgn(x) +O(e^−4|x|) Der Einfachheit halber lassen wir die exponentiell kleinen Korrekturen gleich weg, und es folgt:

⇒ hm1i=Jsgn(B) + O(e^−β|B|)

Die Magnetisierung ist also in der S¨attigung.

Die Suszeptibilit¨at ist mit dem N¨ahrungsausdruck f¨ur kleines Feld jetzt einfach:

χ(T, N) = lim

B→0

∂M

∂B

T

= lim

B→0N

∂hm1i

∂B

T

⇒ χ= N kT

J(J + 1) 3 ... das bekannte und beliebte Curie-Gesetz.