Additionstheoreme f¨ur Sinus und Kosinus F¨ur die Kreisfunktionen sin und cos gelten folgende Beziehungen: cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α Insbesondere ist cos(2α) = cos

Additionstheoreme f¨ur Sinus und Kosinus

F¨ur die Kreisfunktionen sin und cos gelten folgende Beziehungen:

cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ sin(α±β) = sinαcosβ±sinβcosα Insbesondere ist

cos(2α) = cos²α−sin²α, sin(2α) = 2 sinαcosα und eine ¨aquivalente Form der ersten dieser beiden Identit¨aten ist

cos(2α) = 1−2 sin²α .

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Beweis (i) Kosinus:

Formel von Euler-Moivre cost = 1

2 e^it+ e^−it

, sint = 1

2i e^it−e^−it

=⇒

cosαcosβ = 1

2(e^iα+ e^−iα)·1

2(e^iβ+ e^−iβ)

= 1

4

e^i(α+β)+ e^i(α−β)+ e^i(β−α)+ e^{i(−α−β)} sinαsinβ = 1

2i(e^iα−e^−iα)· 1

2i(e^iβ−e^−iβ)

= −1 4

e^i(α+β)−e^i(α−β)−e^i(β−α)+ e^{i(−α−β)} Subtraktion Aufhebung der Terme e^i(α−β), e^{−i(α−β)}, d.h.

cosαcosβ−sinαsinβ = 1

2(e^i(α+β)+ e^−i(α+β)) = cos(α+β)

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setzen von β=α

cos(2α) = cos²α−sin²α bzw. mit cos²α+ sin²α= 1

cos(2α) = (1−sin²α)−sin²α= 1−2 sin²α (ii) Sinus:

Beweis der Formel f¨ur sin(α+β) analog Alternativ:

sin(α+β) = cos(α+β−π/2)

= cosαcos(β−π/2)−sinαsin(β−π/2) cos(β−π/2) = sinβ, sin(β−π/2) =−cosβ

Formel f¨ur sin(α+β)

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