Sinussatz
In einem Dreieck verhalten sich die L¨ angen der Seiten wie die Sinuswerte der gegen¨ uberliegenden Winkel:
sin α
a = sin β
b = sin γ c bzw.
sin α : sin β : sin γ = a : b : c .
Beweis
Zerlegung des Dreiecks in zwei durch die H¨ ohe zur Seite AB be- grenzte rechtwinklige Teildreiecke
Definition des Sinus (Gegenkathete : Hypothenuse) = ⇒ sin α = h
b , sin β = h a und somit
sin α : sin β = h b : h
a = a : b
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Beispiel
Entfernung d zweier schwer
zug¨ anglicher Punkte P und Q
durch Messung der Winkel an den
Enden einer Referenzstrecke AB
(i) Numerische L¨ osung:
^ (APB) = 90 ◦ − 60 ◦ = 30 ◦ , sin 30 ◦ = 1/2 a = 100/ sin 30 ◦ = 200 Winkelsumme gleich 180 ◦
α = 15 ◦
Sinussatz = ⇒ b : 100 = sin 135 ◦ : sin 15 ◦ , d.h.
b ≈ 100 · 0.7071/0.2588 = 273.2 Kosinussatz = ⇒ d 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos 30 ◦ , d.h.
d ≈ (40000 + 74640 − 2 · 54640 · 0.8660) 1/2 = 141.4
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(ii) Exakte algebraische Rechnung:
cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 und sin(2ϕ) = 2 sin ϕ cos ϕ = ⇒ 1/2 = sin(30 ◦ ) = 2s p
1 − s 2
| {z }
cos(15
◦)
, s = sin(15 ◦ ) d.h. nach Quadrieren
1
4 = 4s 2 (1 − s 2 ) ⇔ s 4 − s 2 + 1 16 = 0 L¨ osungsformel f¨ ur quadratische Gleichungen = ⇒
s 2 = 1/2 ± p
1/4 − 1/16 = 1/2 ± √ 3/4 L¨ osung im Intervall (0, sin 30 ◦ ) = (0, 1/2) = ⇒ s = p
2 − √ 3/2 Skalierung der L¨ angen mit dem Faktor 1/100, cos(30 ◦ ) = √
3/2
˜
a = a skaliert = 2, ˜ b = 1 · sin 135 ◦ sin 15 ◦ = 1
√ 2 2 p 2 − √
3 d ˜ 2 = ˜ a 2 + ˜ b 2 − 2˜ a b ˜ cos 30 ◦
= 4 + 4
2(2 − √
3) − 2 · 2 · 2
√ 2 p 2 − √
3
·
√ 3
2 = 2
(iii) Beweis der letzten Gleichheit:
Umformung
2 + 2
2 − √ 3
= ! 4 √
√ 3 2 p
2 − √ 3
1 2− √
3 = 2+
√ 3 (2+ √
3)(2− √
3) = 2 + √
3 vereinfachte linke Seite 2 + 2(2 + √
3) = 6 + √ 3 Quadrieren der Identit¨ at
36 + 24 √
3 + 12 = ! 48 2(2 − √
3)
Ubereinstimmung nach Rationalisieren des Nenners der rechten Seite ¨ durch Erweitern mit 2 + √
3 48(2 + √
3) 2(2 − √
3)(2 + √
3) = 96 + 48 √ 3 2(4 − 3)
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