d = H d q ( β ) β → β β =arctan β d d α α d d 10 m H =0 . 1 m sin( sin( d 9Funktionenreihen α α α + + + β β β ) )= ) β ≈ 0 . 009999 =0 b . 5729 =sin( d q ( = β ) , α + β )sin( H

9 Funktionenreihen

Die wichtigsten, in den Anwendungen auftretenden Funktionen lassen sich alsPo- tenzreihen der Form P∞

n=0an(x−x0)ⁿ, den sog. Taylor-Reihen darstellen. Diese Entwicklung liefert eine M¨oglichkeit, um Funktionen wie z.B.e^x, sinx, tanx,√

x, lnx oder arctanxexplizit zu berechnen, indem nur die Grundrechenoperationen +− ∗/ angewendet werden. Dar¨uber hinaus ist es f¨ur die Anwendungen wichtig, dass f¨ur gegebene, gegebenenfalls komplizierte Funktionen N¨aherungsformeln zur Verf¨ugung stehen.

Anwendungsbeispiel 9.1 (Scheinwerferregulierung).

Bei der Einstellung von Scheinwerfern muss die H¨ohe des Abblendlichts laut Gesetz ¨uber eine Entfernung von10mum eine vorgegebene H¨oheHopt= 0.1m abnehmen. Aus dieser Vorgabe ergibt sich f¨ur die Hell-Dunkel-Grenze eine Zielneigung der Scheinwerfer durchβab= arctan^H₁₀^opt ≈0.009999=0.5729b ^◦ .

Abb. 9.1.Geometrische Anordnung der beiden Messstrahlen

Da der aktuelle Neigungswinkel β der Scheinwerfer nicht direkt ermittelbar ist, wird er optisch ¨uber die Messung zweier Distanzen d1 undd2 bestimmt.

Die beiden gemessenen Distanzend₁ undd₂ ergeben sich in Abh¨angigkeit des aktuellen Scheinwerferwinkelsβ durch

d1= H₀

sin(α1+β) ,d2= H₀ sin(α2+β) ,

wennα₁undα₂die baubedingt, vorgegebenen Neigungswinkel sind. Geht man zum Quotienten ¨uber, ergibt sich die Formel

d1

d2

=sin(α2+β)

sin(α1+β) =q(β),

Um vom Quotienten der beiden Distanzwerte auf den aktuellen Neigungswinkel βder Scheinwerfer einfach schließen zu k¨onnen, wird eine N¨aherungsformel von q(β) gesucht, die sich anschließend nach β aufl¨osen l¨asst (→Taylor-Polynom 2. Ordnung).

344 9. Funktionenreihen

9.1

9.1 Zahlenreihen

Bevor wir allgemein auf Potenz- und Taylor-Reihen zu sprechen kommen, werden zu- n¨achst Zahlenreihen und deren Konvergenzkriterien behandelt. Die Konvergenzkriterien ben¨otigen wir dann bei der Diskussion der Konvergenz der Taylor-Reihen.

Nach Kap. 6.1 bezeichnet man eine geordnete Menge reeller Zahlen (a_n)_n∈IN=a₁, a₂, a₃, . . . , a_n, . . .

alsreelle Zahlenfolge.Eine Zahlenfolge heißtkonvergent, wenn eine reelle Zahl a∈IR existiert, so dass es zu jedemε >0 einn0∈IN gibt mit

|a_n−a|< ε f¨ur n≥n₀.

Beispiele 9.2:

Folge allgem. Glied Konvergenz

(an)_n= 1,2,3, 4, . . . an=n nein (an)_n= 1, ¹₂, ¹₃, ¹₄, . . . an= 1

n ja: an →0

(an)_n=q⁰, q¹, q², q³, . . . an=qⁿ⁻¹











f¨ur |q|<1 : an→0 f¨ur |q|>1 : divergent f¨ur q= 1 : an→1 f¨ur q=−1 : divergent (an)_n= 1, _2!¹, _3!¹, _4!¹, . . . an= 1

n! ja: an →0

(an)_n=−1, ¹₂,−¹₃, ¹₄, . . . an= (−1)ⁿ 1

n ja: an →0

Ubergang zu Reihen.¨ Wir betrachten die Zahlenfolge (an)_n= 1, 1, 1

2!, 1 3!, 1

4!, . . . , 1 (n−1)!, . . .

mit dem allgemeinen Glieda_n = _(n−1)!¹ .Aus den Gliedern dieser Folge bilden wir sog.Teilsummen(=Partialsummen), indem wir jeweils die ersten Glieder aufsummieren:

S1= 1 = 1

S2= 1 + 1 = 2

S₃= 1 + 1 +_2!¹ = 2,5

S4= 1 + 1 +_2!¹ +_3!¹ = 2,66666 S₅= 1 + 1 +_2!¹ +_3!¹ +_4!¹ = 2,70833 S6= 1 + 1 +_2!¹ +_3!¹ +_4!¹ +_5!¹ = 2,71666 S7= 1 + 1 +_2!¹ +_3!¹ +_4!¹ +_5!¹ +_6!¹ = 2,71804 S8= 1 + 1 +_2!¹ +_3!¹ +_4!¹ +_5!¹ +_6!¹ +_7!¹ = 2,71823

9.1 Zahlenreihen 345

Wir fassen die Partialsummen zu einer Folge(Sn)_n∈INzusammen. Diese Folge gen¨ugt dem Bildungsgesetz

Sn = 1 + 1 + 1 2!+ 1

3!+. . .+ 1 (n−1)! =

n

X

k=1

1 (k−1)!. (Sn)_n bezeichnet man alsReihe.

Definition: (Reihen).Sei (ak)_k∈IN eine Zahlenfolge. Dann heißt

Sn=a1+a2+a3+. . .+an=

n

X

k=1

ak

einePartialsummeund die Folge der Partialsummen(Sn)_n∈INheißtun- endliche Reihe(kurz:Reihe):

(Sn)_n∈IN=

n

X

k=1

ak

!

n∈IN

= (a1+a2+. . .+an)_n∈IN.

Bemerkungen:

(1) Oftmals beginnt die Summation einer Reihe beik= 0.

(2) Der Name des Summationsindex kann beliebig gew¨ahlt werden:

∞

X

k=0

a_k =

∞

X

i=0

a_i.

Beispiele 9.3:

allgem. Folgenglied Partialsumme

an =n Pn

k=1k= 1 + 2 + 3 +. . .+n a_n = 1

n

Pn k=1

1

k = 1 + ¹₂+¹₃ +. . .+_n¹

a_n =qⁿ Pn

k=0q^k = 1 +q+q²+. . .+qⁿ an = 1

n!

Pn k=0

1

k! = 1 + 1 +_2!¹ +. . .+_n!¹ an = (−1)ⁿ 1

n

Pn

k=1(−1)^k_k¹ =−1 + ¹₂−¹₃±. . .(−1)^{n 1}_n

Eine Reihe ist also die Folge der Partialsummen(Pn

k=1ak)_n∈IN. Es stellt sich die Frage, ob diese Folgen konvergieren, d.h. ob

n→∞lim Sn=

∞

X

k=1

ak

einen endlichen Wert besitzt.

346 9. Funktionenreihen

Definition:

(1) Eine Reihe(Pn

k=1ak)_n∈INheißtkonvergent,wenn die Folge der Par- tialsummen S_n:=Pn

k=1a_k eine konvergente Folge ist. Liegt Konver- genz vor, so bezeichnet man den Grenzwert

n→∞lim S_n = lim

n→∞

n

X

k=1

a_k=

∞

X

k=1

a_k

als Summe der unendlichen Reihe.

(2) Eine Reihe (Pn

k=1a_k)_n∈IN heißt divergent, wenn sie keinen Grenz- wert besitzt.

(3) Eine Reihe(Pn

k=1ak)_n∈INheißtabsolut konvergent,wenn die Par- tialsumme der Betr¨age S_n:=Pn

k=1|ak| konvergiert.

Bemerkungen:

(1) Eine konvergente Reihe besitzt stets einen endlichen, eindeutig bestimmten Summenwert.

(2) Eine absolut konvergente Reihe ist stets konvergent. Die Umkehrung gilt allerdings nicht (→Beispiel 9.14)!

(3) Eine Reihe heißt bestimmt divergent, wenn P∞

k=1ak entweder+∞ oder

−∞ist.

(4) Die Auswertung der Partialsumme als geschlossener Ausdruck ist in man- chen, seltenen F¨allen m¨oglich. Dann ist der Summenwert berechenbar. I.a.

jedoch ist der Grenzwert unbekannt und man muss Konvergenzkriterien anwenden, um die Konvergenz der Reihe zu zeigen.

Wir behandeln zun¨achst Reihen, bei denen sich die Partialsummen auswerten lassen und lernen dann wichtige Konvergenzkriterien kennen.

9.1.1 Beispiele

Beispiel 9.4.Diegeometrische Reihe

∞

X

k=0

q^k= 1 +q+q²+. . .+q^k+. . .

konvergiertf¨ur|q|<1 und divergiert f¨ur|q| ≥1.