sinnsinn β=α =ε= Z/EnZ/EI

Die Reflexion von Licht Die Fresnel’schen Formeln

Gegenstand dieses Kapitels ist die Berechnung der Intensität eines re- flektierten Lichtstrahles, der aus einem Medium mit der Brechzahl n₁ kommend auf eine Grenzfläche mit der Brechzahl n2 auftrifft.

Für die Intensität einer ebenen Welle gilt:

v 2

eff v

2 eff

r

E / Z n E / Z

I = ε =

lation Re

Maxwell c c

n = ε

=

−

0 0

Z

= µ ε

Als Einfallsebene des Lichtstrahles wählen wir die x-z-Ebene.

An der Grenzfläche gelten folgende Randbedingungen:

• Stetigkeit der Normalkomponente von D:

Diese Bedingung führt (wie die Stetigkeit der Parallelkomponen- te von k) zum Brechungsgesetz:

β

=

α n sin sin

n

• Stetigkeit der Tangentialkomponente von E:

||

g

||

r

||

e

E E

E + =

• Erhaltung der Normalkomponente des Energiestromes:

⊥

⊥

⊥

−

=

e

I I

I

Einfallsebene sei die y-z-Ebene

s-Welle

p-Welle

Polarisation des Lichtes senkrecht zur Einfallsebene (s-Wellen)

Mit

E r E

r j E

r j

=

= E

+ E

= E

erhält man die folgende Gleichung:

gy ry

ey

E E

E + =

Die Intensitätsbedingung für die Normalkomponente des P vektors

I

− I

oynting-

= I

schreibt sich folgendermaßen:

( ^{E − E} ) ^{cos α = n E cos β}

n

Eliminiert man aus beiden Gleichungen die Größe E_gy und verwendet das Brechungsgesetz, so erhält man folgende Beziehung zwischen den Effektivwerten der einfallenden (Eey) und reflektierten (Ery) Amplitu- de:

( ) (

)

β

−

− α β = α

+ β α

β α

− β

= α

sin E sin cos

sin sin

cos

cos sin

sin E cos

E

Für den Reflexionskoeffizienten gilt dann:

2 2

ey er

s sin( )

) sin(

E

R E 

 





β + α

β

−

= α











=

Im Spezialfall fast senkrechten Einfalls (cosα ≈ 1, cosβ ≈1) erhält man:

2

1 2

1 2

n n

n R n  

 





+

= −

⊥

Polarisation des Lichtes in der Einfallsebene (p-Wellen)

Wegen der Stetigkeit der E-Komponenten in x-Richtung gilt

( ^E

^{+ E}

) ^{cos α = E}

^{cos β}

Die Bedingung für den Energiestrom ist analog:

( ^{E − E} ) ^{cos α = n E cos β}

n

Diesmal erhält man für den Reflexionskoeffizienten:

2

p tan( )

)

R tan( 



 





β + α

β

−

= α

Für senkrechten Einfall gilt analog wie bei s-Wellen:

2

1 2

1 2

n n

n

R n 



 





+

= −

⊥

Für nahezu parallelen Einfall gilt für s-wie p-Wellen:

1 R _|| =

Im Falle α + β = 90° ist für p-Wellen Rp = 0. Man erhält dann mittels des Brechungsgesetzes das Brewster’sche Gesetz:

1 2

Br

n / n

tan α =

Rechenbeispiele für den Übergang Glas-Wasser

Reflexionskoeffizient für den Übergang von Wasser nach Glas

0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1

-10 10 30 50 70 9

Einfallswinkel

Reflexionskoeffizient

0

Rs Rp R=(Rs+Rp)/2

Reflexionskoeffizient für den Übergang von Glas in Wasser

0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1

-10 10 30 50 70 9

Einfallswinkel

Reflexionskoeffizient

0

Rs Rp R