ε z = ε k, wobei wir die

Moderne Physik Ss2006

Heiko Dumlich

May 17, 2006

7 Ordentlicher und Auÿerordentlicher Strahl

- Es gilt

D ~ = ε 0 ← → ε ~ E

^{, wobei}

← → ε

^den Dielektrizitätstensor darstellt. Zudem folgtfürdie Hauptachsenform:

D i = ε 0 ε i E i

^{. Fürden} Dielektrizitätstensordes optisch einachsigen Kristalls gilt

ε x = ε y = ε _⊥

^und

ε z = ε _k

^{, wobei wir die}

optische Achse in

z

^{-Richtung deniert haben. In der} Hauptachsenform folgt also:

˜ ε =





ε _⊥ 0 0 0 ε _⊥ 0 0 0 ε _k





FüreinenWellekvektorin

z

^{-Richtungfolgtnurein}Brechungsindexwert

n =

√ ε _⊥

^{. D.h. längs der optischen Achse tritt keine} Doppelbrechung auf. Für einenWellenvektorinder

x, y

^{-Ebenefolgen,}beispielhaftfürdie

x

^{-Richtung,zwei}

Brechungsindizes

n a0 = √ ε _k

^und

n 0 = √ ε _⊥

^{. Betrachtenwir den} allgemeinen Fallfür einenWellenvektor

~k

^{der einenWinkel von}

θ

^{mit der optischenAchse}

einschlieÿt,sofolgt:

1

n ² _a0 (.θ) = cos ² (θ)

ε _⊥ + sin ² (θ) ε _k

mit

n 0 = √ ε _⊥

^.

-Wir denierenden Hauptschnitt desKristallsalsdieEbene,die durchdie

optischeAchseunddenWellenvektor

~k

aufgespanntwird.

Beim ordentliche Strahl stehen

E ~

^und

D ~

^{immer senkrecht zur optischen}

Achse. DerordentlicheStrahlistalsosenkrechtzum Hauptschnittpolarisiert.

DerauÿerordentlicheStrahlistparallelzumHauptschnittpolarisiert.

- Der ordentliche Strahl ist senkrecht und der auÿerordentliche Strahl ist

parallelzumHauptschnitt polarisiert,dahermüssensieorthogonalsein.

-DerordentlicheStrahlistsenkrechtzuroptischenAchseunddamitsenkrecht

zumHauptschnitt polarisiert.

-FürdieOrientierungsabhängigkeitvon

n a0 (θ)

^folgtwieobenbeschrieben:

n a0 (.θ) = v u u t

1

cos ² (θ)

ε ⊥ + ^sin _ε ² _k ^(θ) =

s ε _⊥ ε _k

ε _⊥ sin ² (θ) + ε _k cos ² (θ)

Herleitenlässt sichdiesausderEllipsengleichung:

1 = x ² a ² + y ²

b ²

unter derAnnahme,dass

a = n a0

^und

b = n 0

^{, somitfolgt:}

1 = n ² _a0 cos ² θ

n ² ₀ + n ² _a0 sin ² θ n ² _a0

Kürzendurch

n ² _a0

^{liefertnundiegewünschteGleichung:}

1

n ² _a0 (.θ) = cos ² (θ)

ε _⊥ + sin ² (θ) ε _k

wobei wir die von der ersten Teilaufgabe bereits bekannten Beziehungen

n a0 = √ ε _k

^und

n 0 = √ ε _⊥

^{eingesetzthaben.}

8 Wellenfunktion und PDC

EsgiltdieGleichung:

| ψ i = 1

√ 2 | V i ^s | V i ⁱ + e ^i∆φ | H i ^s | H i ⁱ

hierbeibezeichnet

ψ

^dieWellenfunktion,

√ 1

2

^{stellt einen}Normierungsfaktor dar,

V

^{stelltden Zustanddervertikale,}

H

^{denZustandder}horizontalenPolar- isationdar,dieIndizes

s und i

^{stehenfürein Signalbzw. IdlerPhotonunddie}

e

^{-Funktion mit}

i∆φ

^{stellt eine} Phasenverschiebung dar. Die vertikale Polari- sation

V

^{ist die}Polarisation,die ausdemNLOKdurcheinmaligenDurchgang erzeugtwird. WährenddiehorizontalePolarisation

H

^{miteinemspeziellenPo-}

larisationslterersterzeugtwird,nachdemdasPhotonschondurchdenNLOK

durchgegangenistunddannaneinemSpiegelreektiertwird.

Das heisstalso, die

V

-polarisiertenPhotonen kommen durch den direkten Weg und die

H

-polarisierten Photonen kommen durch den reektierten Weg (nachDenitionausdemText).

Die Begründung für die gleiche Polarisationder Photonen kann durch die

PDCgefundenwerden. HierbeindetdiePDCdes1. Typsstatt,wobeidiePho-

tonenimmergleich polarisiertwerdenimGegensatzzum 2. Typ, beiwelchem

sieimmerorthogonalpolarisiertwerden.

DerZustand

H s H i

^{entstehtimNLOK,wird jedoch noch imNLOKwieder}

entfernt da es nicht zur Phasenanpassung kommen kann, da die Pumplaser-

V

-polarisiertenPhotonensenkrechtzuden

H

-polarisierten-erzeugtenPhotonen stehen.

unddemProblemderNichtlokalitätinderQuantenmechanik beziehtsichauf

dieHeisenbergscheUnschärferelation,wobeidieseeineAussageüberdieUnbes-

timmbarkeit des Ortes trit, wenn man zugleich den Impuls messen möchte.

DieselässtsichjedochindiesemExperimentumgehen. SomitkommtdasKom-

plementaritätprinzipins Spiel,wobeidasKomplementaritätsprinzipalsfunda-

mentalerangesehenwerdenmuss, dadiesesnichtumgangenwerdenkann. Ein

Bezugzum Welle-Teilchen-Dualismus ist natürlich auch gegeben, da dieserja

geradedurchdiekomplementärenVariablenbeschriebenwird.

9 Atominterferometer

(a)

Es gilt

d = 2v rec t sep

^{, wobei}

d

^{den Abstand zwischen den zwei Strahlen}

beschreibt, die nach dem erstenDurchgang durch dasLichtgittermit der Ge-

schwindigkeit

v rec

auseinanderstreben. DerFaktor

2

^{folgtdaher,dasjederder}

Strahlenmit derGeschwindigkeit

v rec

^{von einergedachtenMitte wegstrebt.}

DieZeit

t sep

^{istdieZeit,die man}verstreichenlässt,ehemandaszweiteLicht- gitter durch wieder-einschalten des Lasers erzeugt. Somit kann man aus der

trivialenFormel

v = ^s _t ⇔ s = v · t

^aufdas

d

schliessen,wobei

s = d

^,

v = 2 · v rec

und

t = t sep

^{eingesetztwerdenmuss.}

PrinzipzeichnungdesatomarenStrahlenganges:

(b)

Wirgehen davonaus,dassdieAtome miteinerGeschwindigkeitvon

v x = 2 ^m _s

inderApparaturfallenwürden,wobeiwirevtl. Beschleunigung durch z.B.die

Gravitation vernachlässigen. Das Strahlprol des Lasers, welcher zur Erzeu-

gungdes Lichtgittersgenutzt wird, soll eine Breitevon

10 mm

^{besitzen. Wir}

idealisierendas Problemein wenigund gehen davonaus,dassder Aufbaudes

Gitters keine Zeitbenötigen würde bzw. die Aufbauzeit in unserer Näherung

gegen

0

^{strebt. Somit besitzen wir eine Strecke von}

s = 10 mm

^{, wobei wir}

davonausgehen,dasswirdenLasersofortausschalten,wenn erbeidem Licht-

gitter ankommt, um ihn im letzten Moment, wenn er die

10 mm

^durchquert

hatwieder einzuschalten. Somit folgt mit

v = ^s _t ⇔ t = ^s _v

^{und für die max-}

imale Separationszeit

t sep = _v ^s _x = ^{10 · 10} ₂ ^{m −3 m}

s

= 5 · 10 ^{− 3} s

^{. Dies ist natürlich}

eine stark idealisierte Lösung, so dass wir evtl. sogar bis zu einer halben

GröÿenordnungwenigerZeithabenwürden,dasichdasGittererstauf-/abbauen

Fallgeschwindigkeit anzunehmen) und auch die Ortsbestimmung schwer wird

genau bei Auftreen des Atoms auf das Lichtgitter den Strahl auszuschalten

bzw. denletztenMomentabzupassen,umdenLaserwiedereinzuschalten. Evtl.

wäre das Ausschalten über eine Lichtschranke möglich (wobei die Frageist,

inwieweitdasAtommitdemLichtwechselwirkt,daesdiesjaeigentlichnicht

tun soll, damit der Versuch nichtverfälscht wird. Deshalb sollauch mit dem

Lichtgitter keine Wechselwirkung stattnden.), hierbei muss jedoch auch die

Informationersteinmal mitmaximal Lichtgeschwindigkeitübertragenwerden,

was also nichtinstantgeschehenwird, aberin guter Näherung zurlangsamen

Geschwindigkeitvon

2 ^m _s

^zu

3 · 10 ^{8 m} _s

^{alsfast instantan angenommenwerden}

kann.

AlsVorschlagfüreinesinnvolleLösunggehenwirdavonaus,dasswirnach

ca.

1 − 2 mm

^{denLaserausbzw.}

1 − 2 mm

^{bevordasAtomdurchdenApparat}

ist, wir den Laser wieder einschalten. Die Aufbauzeit des Gitters soll mit in

diese

1 − 2 mm

^{Toleranz eingeossen sein. Wir gehen vom extremsten Fall}

aus,d.h. wirseiensehrlangsamimerkennenderPosition desAtoms,undwir

erhalten

s = 10 mm − 4 mm = 6 mm

^{somitfolgtalso}

t sep = 3 · 10 ^{− 3} s

^.

(c)

WirbetrachteneinenGitteralsäquivalentfürunserLichtgitter,somitgiltfür

dieHauptmaxima:

sin θ = nλ d

für

n ∈ Z

^{. Fürden Abstand}

s 01

^{zwischender0. und1. Ordnungerhalten}

wirauseinerZeichnung:

sin θ = s 01

L

Nunkönnenwirgleichsetzenundnach

L

^{demAbstandzwischenGitterund}

Schirm umstellenunderhalten(

n = 1

^):

L = d s 01

λ

Wir setzen nun unsere Werte von

λ = 2.3 nm

^{und die aus den Graphen}

ablesbarenWerteein,wobeidieAblesegenauigkeiteinenWertvon

s 01 ≈ 0.5 mm

füralleGraphenerlaubt. Somitistnurdas

d

^derGraphenverschiedenundwir erhalten:

L 1 = 0.28 m L 2 = 0.67 m L 3 = 1.09 m

wobeiwir

d 1 = 1.3 µm

^,

d 2 = 3.1 µm

^und

d 3 = 5.0 µm

^{verwendethaben.}