Die Normk·kX seistrikt konvex, d.h., f¨ur alleg, h∈X,g6=h, mitkgkX =khkX = 1 und alleα, β >0 mit α+β = 1 giltkαg+βhkX <1

Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2019 der Philipps-Universit¨at Marburg

Prof. Dr. S. Dahlke, A. G¨orlich

Ubungen zur Approximationstheorie¨

– Blatt 6 –

Abgabe: Donnerstag, 13.06.2019, 12:00-12:15 in HS I

Aufgabe 6.1. (4 Punkte)

(i) Es seiX versehen mit der Normk · k_X ein Banachraum und Y ⊂X ein abgeschlos- sener Unterraum mit dim(Y)<∞. Seif ∈X.

Die Normk·k_X seistrikt konvex, d.h., f¨ur alleg, h∈X,g6=h, mitkgk_X =khk_X = 1 und alleα, β >0 mit α+β = 1 giltkαg+βhk_X <1.

Zeige, dass es in diesem Fall genau eine beste Approximation vonf durch Y gibt.

(ii) Es seiC([−1,1]) der Raum der stetigen Funktionen ¨uber dem Intervall [−1,1]. Zeige anhand dieses Beispiels, dass dieL₁-Norm nicht strikt konvex ist.

Aufgabe 6.2. (4 Punkte)

Es seien 16p 6 ∞ und f ∈ X_p. Zeige f¨ur r ∈ N und δ > 0 folgende Eigenschaften der Glattheitsmoduliωr(f, δ)Lp:

(i) ω_r(f, λδ)_Lp6(m+ 1)^rω_r(f, δ)_Lp f¨ur alle λ >0 mit m < λ6m+ 1, m∈N. (ii) ω_r(f, nδ)_Lp 6n^rω_r(f, δ)_Lp f¨ur alle n∈N.

(iii) ωr(f, δ)Lp 62^r−kω_k(f, δ)Lp f¨ur alle 06k6r.

Aufgabe 6.3. (4 Punkte)

Es sei Ψ ∈ C₀^∞(R) mit supp Ψ ⊂ [−1,1] und Ψ(x) = 1 f¨ur x ∈ [−¹₂,¹₂]. Betrachte die 2π-periodische Funktion

f(x) =

Ψ(x)xlog (|x|) , −π6x6π, x6= 0

0 , x= 0 .

Zeige, dass f ∈B_∞¹ (L∞)\Λ¹_∞(L∞) gilt.

Aufgabe 6.4. (m¨undlich)

Beweise: Es existieren von f unabh¨angige Konstanten c, C >0, so dass f¨ur die Seminorm

|f|_Bp∞^s (vgl. Definition 2.5.1) gilt:

c· sup

k∈N0

2^ksω(f,2^−k)Lp 6|f|_B^s_p∞ 6C· sup

k∈N0

2^ksω(f,2^−k)Lp.