Durch die Substitution z = y 1−α erhalten wir eine lineare Differen- tialgleichung z 0 + (1 − α)f (x) = (α − 1)g(x) , die wir l¨ osen k¨ onnen.

Tutorium 05.06.2020

In diesem Teil diskutieren wir verschiedene L¨ osungsmethoden f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen.

1. Beispiel 102 b).

Eine Bernoulli Differentialgleichung hat die Form y ⁰ + f (x)y + g(x)y ^α = 0 , α 6= 0, 1

Durch die Substitution z = y ^1−α erhalten wir eine lineare Differen- tialgleichung z ⁰ + (1 − α)f (x) = (α − 1)g(x) , die wir l¨ osen k¨ onnen.

Gegeben sei y ⁰ + _x ¹ y + xy ² = 0 .

Das ist eine Bernoulli Differentialgleichung mit f (x) = ¹ _x , g(x) = x , α = 2 .

Die Substitution z = y ⁻¹ liefert z ⁰ − _x ¹ z = x . Die homogene Dgl. ist z ⁰ − _x ¹ z = 0 bzw. z _H = Cx . Der Ansatz f¨ ur z _I ist z _I = C (x)x .

Eingesetzt ergibt sich C ⁰ x + C − _x ¹ Cx = x ⇒ C ⁰ = 1 ⇒ C = x Also ist z _I = x ² und z = Cx + x ² .

R¨ ucksubstitution liefert y = ¹ _z = _Cx+x ¹

, C ∈ R .

2. Beispiel 103 b)

Eine Riccati Differentialgleichung hat die Form

y ⁰ + f (x)y + g(x)y ² = h(x) .

Ist nun eine partikul¨ are L¨ osung y _p bekannt, dann erh¨ alt man durch die Substitution y = z + y p eine Bernoulli Differentialgleichung f¨ ur z(x) , welche gem¨ ass vorher gel¨ ost werden kann.

Sei nun y ⁰ − _x ¹ y + ^x−1 _2x

y ² = ^x−1 ₂ und y p = x . Die Substitution y = z + x liefert

z ⁰ + 1 − _x ¹ (z + x) + ^x−1 _2x

(x ² + 2xz + x ² ) = ^x−1 ₂

Durch Zusammenfassen erhalten wir die Bernoulli Dgl z ⁰ + (1 − _x ² )z + ^x−1 _2x

z ² = 0

Hier ist f (x) = 1 − ² _x , g(x) = ^x−1 _2x

, α = 2 .

Mit der Substitution v = z ⁻¹ erhalten wir die lineare Dgl v ⁰ − (1 − ² _x )v = ^x−1 _2x

.

Es folgt v _H = Ce ^x x ⁻² .

Mit dem Ansatz v _I = C (x)e ^x x ⁻² folgt dann

C ⁰ e ^x x ⁻² + Ce ^x x ⁻² − 2Ce ^x x ⁻³ − (1 − _x ² )Ce ^x x ⁻² = ^x−1 _2x

⇒ C ⁰ = ^x−1 ₂ e ^−x = ¹ ₂ (xe ^−x − e ^−x ) ⇒ C = − ^x ₂ e ^−x Folglich v _I = − ^x ₂ e ^−x e ^x x ⁻² = − _2x ¹ .

Wir erhalten v = Ce ^x x ⁻² − _2x ¹ = ^2Ce _2x

^−x .

Wegen z = ¹ _v gilt z = _2Ce ^2x

−x und y = _2Ce ^2x

−x + x .

3. Beispiel 104 c)

Eine Differentialgleichung P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 heißt exakt

wenn eine Funktion F (x, y) existiert mit F x = P und F y = Q .

F (x, y) heißt Stammfunktion und existiert, wenn die Integrabilit¨ ats-

bedingung P y = Q x erf¨ ullt ist.

Die allgemeine L¨ osung der Dgl ist dann F (x, y) = C , C ∈ R . Sei nun ¹ _y sin ^x _y dx − _y ^x

sin ^x _y dy = 0 .

Dann ist P = ¹ _y sin ^x _y , Q = − _y ^x

sin ^x _y .

P _y = − _y ¹

sin ^x _y + ¹ _y cos ^x _y · − _y ^x

, Q _x = − _y ¹

sin ^x _y − _y ^x

cos ^x _y · ¹ _y

Wir beobachten, dass P _y = Q _x , also ist die Dgl exakt und es existiert eine Funktion F (x, y) mit F _x = P und F _y = Q .

Wie kann nun F (x, y) bestimmt werden?

Wegen F _x = P ist F _x = ¹ _y sin ^x _y . Integration nach x liefert F = − cos ^x _y + ϕ(y) .

Hier tritt statt der Integrationskonstanten eine willk¨ urliche Funktion ϕ(y) auf, die noch zu bestimmen ist. Wir sehen hier, dass tats¨ achlich F _x = P gilt.

Wegen der weiteren Bedingung F _y = Q erhalten wir sin ^x _y · − _y ^x

+ ϕ ⁰ (y) = − _y ^x

sin ^x _y ⇒ ϕ ⁰ = 0 ⇒ ϕ = 0

Damit ist F (x, y) = − cos ^x _y und die allgemeine L¨ osung der Dgl lautet damit

− cos ^x _y = C bzw. cos ^x _y = C ^∗ , C ^∗ ∈ R .

Bemerkung. Manchmal ist es g¨ unstiger, mit der Gleichung F _y = Q zu starten und diese nach y zu integrieren. Wir erhalten dann statt einer Integrationskonstanten eine willk¨ urliche Funktion ψ(x) . Durch Auswerten der zweiten Bedingung F _x = P wird dann ψ(x) bestimmt.

4. Beispiel 105 c)

Ist eine Dgl P dx + Qdy = 0 nicht exakt, dann kann sie unter

Umst¨ anden durch Multiplikation mit einer Funktion m(x, y) exakt

gemacht werden, d.h. die Dgl (mP )dx + (mQ)dy = 0 ist eine exakte Dgl und kann gem¨ ass vorher gel¨ ost werden. Die L¨ osung dieser Dgl stimmt mit der L¨ osung der urspr¨ unglichen Dgl ¨ uberein.

Die Funktion m(x, y) heißt Euler’scher Multiplikator oder inte- grierender Faktor.

Es gilt: Ist ^P

^−Q _Q

nur eine Funktion von x , dann ist m(x) = e ^R

−Qx Q

dx

ein integrierender Faktor.

Ist ^Q

_P ^−P

nur eine Funktion von y , dann ist m(y) = e ^R

^dy ein integrierender Faktor.

Sei (2xy + x ² y + ^y ₃

)dx + (x ² + y ² )dy = 0 gegeben.

P = 2xy + x ² y + ^y ₃

⇒ P y = 2x + x ² + y ² Q = x ² + y ² ⇒ Q _x = 2x

Die Dgl ist also nicht exakt.

P

−Q

Q = ^x _x

^+y +y

= 1 ist nur eine Funktion von x .

Also ist m = e ^{R 1dx} = e ^x ein integrierender Faktor und die Dgl (2xy + x ² y + ^y ₃

)e ^x dx + (x ² + y ² )e ^x dy = 0 ist exakt!

Mit P e = (2xy + x ² y + ^y ₃

)e ^x und Q e = (x ² + y ² )e ^x gilt tats¨ achlich P e _y = Q e _x .

Mit F _y = Q e = (x ² + y ² )e ^x folgt F (x, y) = x ² e ^x y + ^y ₃

e ^x + ψ(x) . Mit F _x = P e folgt

2xe ^x y + x ² e ^x y + ^y ₃

e ^x + ψ ⁰ = (2xy + x ² y + ^y ₃

)e ^x und weiters ψ ⁰ = 0 ⇒ ψ = 0 .

Also ist F (x, y) = x ² e ^x y + ^y ₃

e ^x = C , C ∈ R die allgemeine L¨ osung.

5. Beispiel 106 b)

Manche Differentialgleichungen k¨ onnen durch geeignete Substitutio- nen vereinfacht und dann gel¨ ost werden.

Sei x ² y ⁰ + xy = x ² + y ² , x > 0 gegeben.

Division durch x ² ergibt y ⁰ + _x ^y = 1 + ^y _x

.

Wir betrachten nun die Substitution z(x) = ^y(x) _x . Dann ist y = xz und y ⁰ = z + xz ⁰ .

Eingesetzt ergibt sich z + xz ⁰ + z = 1 + z ² bzw.

xz ⁰ = z ² − 2z + 1 = (z − 1) ² .

Dies ist eine Dgl mit getrennten Variablen.

Aus _(z−1) ^dz

= ^dx _x folgt − _z−1 ¹ = ln x + C bzw.

−

¹

x

−1 = ln x + C ⇒ _x−y ^x = ln x + C , C ∈ R

6. Beispiel 111 c)

Eine sogenannte Euler’sche Dgl hat die Form

y ⁽ⁿ⁾ + a _n−1 x ⁿ⁻¹ y ⁽ⁿ⁻¹⁾ + . . . + a 1 xy ⁰ + a 0 y = f (x) , a i ∈ R Diese Dgl kann durch die Substitution

|x| = e ^t , t = ln |x| , y(x) = v(t)

in eine lineare Dgl mit konstanten Koeffizienten ¨ ubergef¨ uhrt werden.

Dabei gilt xy ⁰ = ˙ v , x ² y ⁰⁰ = ¨ v − v , x ˙ ³ y ⁰⁰⁰ = ...

v − 3¨ v + 2 ˙ v

Sei x ² y ⁰⁰ − 2y = sin(ln x) , x > 0 gegeben.

Wir erhalten ¨ v − v ˙ − 2v = sin t .

Mit λ ² − λ − 2 = 0 ist λ ₁ = 2 , λ ₂ = −1 . Also v _H = C ₁ e ^2t + C ₂ e ^−t .

Der Ansatz v I = A cos t + B sin t liefert A = ₁₀ ¹ , B = − ₁₀ ³ , also v = C 1 e ^2t + C 2 e ^−t + ₁₀ ¹ cos t − ₁₀ ³ sin t .

Wegen t = ln x (beachte x > 0) und e ^2t = x ² , e ^−t = _x ¹ erhalten wir somit

y = C ₁ x ² + C ₂ ¹ _x + ₁₀ ¹ cos(ln x) − ₁₀ ³ sin(ln x)