Das Dirichlet-Problem Lip(Ω) und Eigenschaften von AΩ Funktionen mit beschr¨ankter Lipschitz-Konstante Bounded-Slope-Condition
Das Dirichlet-Problem f¨ ur die nichtparametrische Minimalfl¨ achengleichung
Miriam Gittrich
21.06.2012
Das Dirichlet-Problem Lip(Ω) und Eigenschaften von AΩ Funktionen mit beschr¨ankter Lipschitz-Konstante Bounded-Slope-Condition
Outline
1 Das Dirichlet-Problem
2 Lip(Ω) und Eigenschaften von A Ω
3 Funktionen mit beschr¨ ankter Lipschitz-Konstante
4 Bounded-Slope-Condition
Das Dirichlet-Problem Lip(Ω) und Eigenschaften von AΩ Funktionen mit beschr¨ankter Lipschitz-Konstante Bounded-Slope-Condition
S ⊂ R 3 Minimalfl¨ ache
p ∈ S, B r (p) ∈ R 3 mit gen¨ ugend kleinem r > 0
⇒ Area B
r(p) (S) ≤ Area B
r(p) (S‘)
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Das Dirichlet-Problem
Ziel: L¨ osung des Randwertproblems
blindtext
div
√ ∇f 1+|∇f |
2= 0 auf Ω, f
∂Ω = Φ auf ∂Ω.
(Ω ⊂ R n (n ≥ 2) Gebiet, Φ: ∂Ω → R Randfunktion) L¨ osungsansatz: Minimieren des Fl¨ achenfunktionals
A Ω (f ) :=
Z
Ω
q
1 + |∇f | 2 dx
( f : Ω → R , f| ∂Ω =Φ)
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Problem: z.B. C k -Minimalfolgen (k ≥ 1) konvergent?
⇒ Notwendig:
A Ω auf R¨ aumen “verallgemeinerter Funktionen“ studieren Regularit¨ at der Extremale beweisen
⇒ Zugang von Haar:
1. Lip(Ω) und Eigenschaften von A Ω
2. Lipschitz-konstante Funktionen
3. Bounded-Slope-Condition
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Lip(Ω) und Eigenschaften von A Ω
Definition
blindtext
(i) f : Ω → R Lipschitz-stetig auf Ω
⇔ ∃ Konstante M ≥ 0 : | f(x) - f(y) | ≤ M·| x - y |
∀ x,y ∈ Ω
(ii) Lip(Ω) := {f : Ω → R, beschr¨ ankt und Lipschitz-stetig}
Satz von Rademacher
blindtext
f : Ω → R Lipschitz-stetig.
⇒ f fast ¨ uberall differenzierbar und | ∇f | ≤ Lip(f).
= ⇒ A Ω (f) wohldefiniert f¨ ur f ∈ Lip(Ω)
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Satz
blindtext
(i) C ⊂ Lip(Ω) konvexe Teilmenge
⇒ A Ω auf C streng konvex.
(ii) f m → f gleichm¨ aßig auf Ω, supLip(f m ) < ∞
⇒ A Ω (f) ≤ lim inf m→∞ A Ω (f m ) (unterhalbstetig).
Beweis von (ii): f m (x + h) − f m (x) h
−−−→ h→0 ∂f m
glm. L-stetig
= ⇒
∇f
≤ lim inf m→∞ |∇f |
⇒ A Ω (f ) = R
Ω
p 1 + |∇f | 2 dx
≤ R p
1 + liminf |∇f m | 2 dx = lim inf m→∞ A Ω (f m )
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Funktionen mit beschr¨ ankter Lipschitz-Konstante
Satz
blindtext
∃! Minimalstelle f R von A Ω in Lip R (Ω, Φ):
A Ω (f R ) ≤ A Ω (f) ∀ f ∈ Lip R (Ω, Φ).
Beweisskizze:
(f m ) Minimalfolge in Lip R (Ω, Φ) ⇒ ... ⇒ (f m ) glm. beschr¨ ankt.
Satz von Arzel` a-Ascoli ⇒ ∃ Teilfolge (f m ) und Funktion f ∈ C 0 (Ω) mit f m → f gleichm¨ aßig auf Ω, f ∈ Lip R (Ω, Φ).
A Ω (f) ≤ lim inf m→∞ A Ω (f m ) = inf Lip
R(Ω,Φ) A Ω .
⇒ Minimalstelle.
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Satz
blindtext
Ψ Lipschitz-Funktion, Lip(Ψ) ≤ R, g R ∈ Lip R (Ω, Ψ) A Ω -minimal.
(i) Vorausgesetzt, Φ ≤ Ψ auf ∂Ω
⇒ f R ≤ g R auf Ω
(ii) Sei Φ ≤ Ψ auf ∂Ω nicht vorausgesetzt
⇒ sup x∈Ω | f R (x) - g R (x)| ≤ sup x∈∂Ω | Φ(x) - Ψ(x) |
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Beweis von (i):
h R := min(f R , g R ) ∈ Lip R (Ω, Ψ).
⇒ A Ω (f R ) ≤ A Ω (h R )
= R
[f
R≤g
R]
p 1 + |∇f R | 2 dx + R
[f
R>g
R]
p 1 + |∇g R | 2 dx
⇒ R
[f
R>g
R]
p 1 + |∇f R | 2 dx ≤ R
[f
R>g
R]
p 1 + |∇g R | 2 dx.
Analog: H R := max(f R , g R ) ∈ Lip R (Ω, Ψ).
⇒ R
[f
R>g
R]
p 1 + |∇g R | 2 dx ≤ R
[f
R>g
R]
p 1 + |∇f R | 2 dx.
⇒ A Ω (f R ) = A Ω (h R ).
f R = h R = min(f R , h R ) eind. Minimalstelle in Lip R (Ω, Ψ).
⇒ f R ≤ g R auf Ω.
Da Φ ≤ Ψ auf ∂Ω ⇒ f R ≤ g R auf Ω.
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Bounded-Slope-Condition
Ω ⊂ R n beschr¨ ankt und konvex, Φ: ∂Ω → R Randfunktion.
Definition
blindtext
Randmannigfaltigkeit Γ:= {(z, Φ(z)): z ∈ ∂Ω} erf¨ ullt Bounded-Slope-Condition mit Konstante K ≥ 0, wenn gilt:
∃ zu jedem p=(x 0 ,Φ(x 0 )) ∈ Γ affin-lin. Funktionen L ± p : R n → R , L ± p (x) = a ± (x-x 0 ) + Φ(x 0 ), a ± = a ± (p) ∈ R n mit:
(a) L − p (x) ≤ Φ(x) ≤ L + p (x) ∀ x ∈ ∂Ω
(b) |a ± | ≤ K.
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Satz
blindtext
Ω ⊂ R n beschr¨ ankt und konvex, Φ: ∂Ω → R Lipschitz-stetig, B.S.C. mit K ≥ 0 erf¨ ullt.
⇒ ∀ R > K : Lipf R ≤ K Beweisskizze:
Vergleichsprinzip ⇒ L − ≤ f R ≤ L + auf Ω.
F¨ ur x ∈ Ω bedeutet dies:
f R (x) - f R (x 0 ) ≤ L + (x) - f R (x 0 ) = L + (x) - Φ(x 0 )
= L + (x) - L + (x 0 ) ≤ K·|x - x 0 |.
Entsprechend: f R (x) - f R (x 0 ) ≥ -K·|x - x 0 |.
⇒ |f R (x) - f R (y)| ≤ K·|x - y| ∀ x ∈ Ω, y ∈ ∂Ω.
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Satz
blindtext
Ω, Φ wie oben. Erf¨ ullen Ω, Φ eine B.S.C.
⇒ ∃! f ∈ Lip(Ω, Φ) := {g ∈ Lip(Ω): g|∂Ω = Φ}, s.d.
A Ω (f):= R
Ω
p 1 + |∇f | 2 dx ≤ A Ω (g) ∀ g ∈ Lip(Ω, Φ).
Beweisskizze:
W¨ ahle R ≥ K, betrachte f R ∈ Lip R (Ω, Φ).
Satz ⇒ Lipf R < R. ⇒ f R + ε·(f - f R ) ∈ Lip R (Ω, Φ) f¨ ur g ∈ Lip(Ω, Φ) bel., |ε| 1.
⇒ AΩ(f R ) ≤ AΩ(f R + ε·(f - f R )).
⇒ ... ⇒ R
Ω
p 1 + |∇g| 2 dx ≥ R
Ω
p 1 + |∇f | 2 dx .
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