Differentialgeometrie von Kurven und Fl¨achen

Differentialgeometrie von Kurven und Fl¨ achen

Inhaltsverzeichnis:

1. Hilfsmittel (Fritzsche)

2. Parametrisierte Kurven (Ballnus, 29.10.) 3. Ebene Kr¨ ummung (Ballnus, 05.11.) 4. Raumkurven (Stergiou, 12.11.) 5. Globale Eigenschaften (Nietz, 19.11.) 6. Parametrisierte Fl¨ achen (Kintscher, 26.11.)

7. Erste Fundamentalform (Kintscher oder Ding, 03.12.) 8. Normalkr¨ ummungen (Br¨ uder, 10.12.)

9. Gauß’sche Kr¨ ummung (Br¨ uder, 17.12.)

10. Theorema egregium (Lommerzheim, 07.01.2010) 11. Geod¨ atische (Sch¨ acht, 14.01.)

12. Kartenprojektionen (Agzib¨ uy¨ uk, 21.01.) 13. 28.01. und 04.02.: Reserve-Termine

2 Fl¨ achen (Vortr¨ age Nr. 6 und 7)

Ein parametrisiertes (regul¨ ares) Fl¨ achenst¨ uck S ⊂ R ³ ist das Bild einer beliebig oft differenzierbaren Abbildung ϕ : P → R ³ , so dass gilt:

1. P ist eine offene, zusammenh¨ angende Menge im R ² , ϕ ist injektiv.

2. rg J _ϕ (u) = 2 f¨ ur alle u ∈ P .

3. Ist u 0 ∈ P und (u ν ) ∈ P eine Folge mit lim

ν→∞ ϕ(u ν ) = ϕ(u 0 ), so ist auch lim

ν→∞ u ν = u 0

(vgl. dazu GK Analysis 2, Abschnitt 1.5). Dann ist S (mit der Relativtopologie) hom¨ oomorph zu P (vgl. Lemma 1.5.7 in GK Analysis 2 und Proposition 4 in 2.2 in do Carmo). Eine regul¨ are Fl¨ ache ist eine Teilmenge S ⊂ R ³ , so dass es zu jedem x ∈ S eine offene Umgebung U = U (x) ⊂ R ³ existiert, so dass S ∩ U ein parametrisiertes regul¨ ares Fl¨ achenst¨ uck ist.

Jedes Fl¨ achenst¨ uck S ⊂ R ³ kann lokal als

” Niveaufl¨ ache“ f ⁻¹ (0) (mit einer Funktion f : U → R , U ⊂ R ³ , und ∇f (x) 6= 0) dargestellt werden. Zwei verschiedene Parametrisierungen gehen durch differenzierbare Parametertransformationen auseinander hervor (siehe do Carmo, Proposition 1 in 2.3; im GK Analysis 2 wird das Gleiche f¨ ur p-dimensionale Fl¨ achen im R ⁿ gemacht, im Abschnitt 1.5). Dadurch ist es m¨ oglich, differenzierbare Funktionen auf Fl¨ achen zu definieren.

Ist ϕ : P → S ⊂ R ³ ein parametrisiertes Fl¨ achenst¨ uck, so heißt T _ϕ(u) (S) := Im Dϕ(u) die Tangentialebene an S in ϕ(u). Jeder

” Tangentialvektor“ v ∈ T _p (S) ist Tangentenvektor α ⁰ (0) einer Kurve α : I → S mit α(0) = p (und umgekehrt).

Ist F : S 1 → S 2 eine differenzierbare Abbildung und v = α ⁰ (0) ∈ T p (S 1 ), so setzt man

F ∗,p (v) := (F ◦ α) ⁰ (0).

Dadurch wird eine lineare Abbildung F _∗,p : T p (S 1 ) → T _F(p) (S 2 ) definiert, die

” Tangentialabbil- dung“. Ist sie ein Isomorphismus, so ist F lokal nahe p ein Diffeomorphismus. In der Literatur gibt es f¨ ur die Tangentialabbildung F ∗,p noch andere Bezeichnungen, z.B. dF p .

Sei S ⊂ R ³ eine regul¨ are Fl¨ ache. Die quadratische Form I p : T p (S) → R mit I p (v) := v

v (eu- klidisches Skalarprodukt im R ³ ) heißt erste Fundamentalform auf S. Manchmal bezeichnet man auch das Skalarprodukt selbst mit I _p .

Eine Parametrisierung ϕ definiert eine Basis {ϕ u (p), ϕ _v (p)} des Tangentialraums (u,v seien die beiden Parameter). Nach Gauß definiert man f¨ ur u = (u, v) ∈ P und p := ϕ(u) ∈ S :

E(u) := ϕ _u (p)

ϕ _u (p) = I _p (ϕ _u (p)), F (u) := ϕ u (p)

ϕ v (p),

G(u) := ϕ v (p)

ϕ v (p) = I p (ϕ v (p)).

Ist v = α ⁰ (0) ∈ T p (S) und schreibt man α = ϕ ◦ (a 1 , a 2 ) mit einer differenzierbaren Kurve (a 1 , a 2 ) im R ² , so ist v = a ⁰ ₁ ϕ u + a ⁰ ₂ ϕ v und I p (v) = E · (a ⁰ ₁ ) ² + 2F · a ⁰ ₁ a ⁰ ₂ + G · (a ⁰ ₂ ) ² . So kann man in lokalen Koordinaten rechnen.

Es ist kϕ u × ϕ v k = √

EG − F ² . Diese Gr¨ oße spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung des Fl¨ acheninhaltes eines Fl¨ achenst¨ ucks: Ist Q ⊂ P und K := ϕ(Q) kompakt, so ist µ(K) :=

Z

Q

kϕ u × ϕ v k du dv der Fl¨ acheninhalt von K.

Die Wahl einer Parametrisierung ϕ induziert durch die Basis {ϕ u , ϕ _v } (und ihre Anordnung) eine Orientierung der Tangentialr¨ aume. Die Fl¨ ache S heißt orientierbar, falls man S so mit Koordinaten ¨ uberdecken kann, dass alle Kartenwechsel positive Funktionaldeterminante haben. Man kann zeigen, dass S genau dann orientierbar ist, wenn es auf S ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld gibt. Das M¨ obiusband ist ein Beispiel einer nicht orientierbaren Fl¨ ache.

Niveaufl¨ achen f ⁻¹ (0) sind immer orientierbar.

3 Fl¨ achenkr¨ ummung (Vortr¨ age Nr. 8, 9 und 10)

Die ersten Ergebnisse gehen auf Euler zur¨ uck (1760). Sei S eine Fl¨ ache, p ∈ S und N ein Norma- lenvektor (zun¨ achst willk¨ urlich gew¨ ahlt). Jeder Tangentialvektor v ∈ T p (S) spannt mit N eine Ebene E(v) auf, die mit {v, N } orientiert wird. Der Schnitt E(v)∩S ist Bild einer Kurve α v mit α v (0) = p, und diese hat in E(v) eine orientierte Kr¨ ummung κ N (v), die Normalenkr¨ ummung von S in p in Richtung v.

Satz: Wenn die Normalenkr¨ ummung v 7→ κ _N (v) nicht konstant ist, gibt es genau zwei (aufein- ander senkrecht stehende) Einheitsvektoren v ₁ , v ₂ ∈ T _p (S), so dass κ ₁ := κ _N (v ₁ ) maximal und κ ₂ = κ _N (v ₂ ) minimal ist.

Man nennt κ ₁ , κ ₂ die Hauptkr¨ ummungen von S in p, und v ₁ , v ₂ die Hauptkr¨ ummungs- richtungen.

Der Punkt p heißt

• elliptisch, falls κ ₁ , κ ₂ das gleiche Vorzeichen besitzen,

• hyperbolisch, falls κ ₁ und κ ₂ verschiedene Vorzeichen haben,

• parabolisch, falls genau eine der Hauptkr¨ ummungen verschwindet

• und flach, falls κ ₁ = κ ₂ = 0 ist.

Satz von Meusnier: Sei F eine Ebene, die v ∈ T p (S) enth¨ alt, und θ der Winkel zwischen F und der Normalenebene E(v). Ist κ θ die Kr¨ ummung der Kurve F ∩ S in p, so ist

κ _N (v) = κ _θ · cos θ.

Bemerkung: Die Gr¨ oße κ _θ · cos θ nennt man auch die

” Normalkr¨ ummung“ von F ∩ S in p. Dann kann der Satz von Meusnier auch folgendermaßen formuliert werden: Alle Kurven auf S durch p mit dem gleichen Tangentialvektor v in p haben die gleiche Normalkr¨ ummung in p.

Gauß entwickelte eine Fl¨ achentheorie, die sich auf die inneren Eigenschaften der Fl2ache kon- zentrierte (1827). Im Folgenden Sei S stets eine orientierbare Fl¨ ache.

Die Gauß-Abbildung N : S → S ² wird definiert durch N (p) := ϕ u × ϕ v

kϕ _u × ϕ _v k .

Man kann zeigen, dass N eine differenzierbare Abbildung ist. Allerdings h¨ angt N von den Koordinaten ab. Wenn man allerdings eine Orientierung auf S w¨ ahlt, kann man ein differen- zierbares Einheitsnormalenfeld auf S finden, und dann kann man die Parametrisierung ϕ immer so w¨ ahlen, dass N in die Richtung des Einheitsnormalenfeldes zeigt (und daher mit ihm ¨ uber- einstimmt).

Das Spannende an der Gaußabbildung ist die zugeh¨ orige Tangentialabbildung N _∗,p : T _p (S) → T _{N (p)} (S ² ). Weil einerseits T _p (S) die Ebene durch den Nullpunkt ist, die auf N (p) senkrecht steht, und andererseits auch T _{N (p)} (S ² ) die Ebene durch den Nullpunkt ist, die auf N (p) senk- recht steht, kann man die beiden miteinander identifizieren (man beachte, dass Vektoren immer als Vektoren im Nullpunkt aufgefasst werden k¨ onnen, und das gilt auch f¨ ur die Tangentialvek- toren an eine Fl¨ ache). Also haben wir einen Endomorphismus N _∗,p : T p (S) → T p (S), und f¨ ur die Untersuchung von Endomorphismen gibt es in der linearen Algebra einen umfangreichen Apparat. Die Abbildung L := −N _∗,p : T p (S) → T p (S) nennt man die Weingartenabbildung oder den Gestalt-Operator.

Ist V ein reeller Vektorraum mit innerem Produkt h. . . , . . .i, so nennt man einen Endomorphis-

mus L : V → V selbstadjungiert, falls hL(v) , wi = hv , L(w)i f¨ ur alle v, w ∈ V gilt.

Satz: Die Weingartenabbildung L ist selbstadjungiert (bez¨ uglich der ersten Fundamentalform).

Die quadratische Form II p : T p (S) → R mit

II p (v) := I p (L(v), v) = −I p (N ∗,p (v), v) heißt zweite Fundamentalform auf S.

F¨ ur v ∈ T _p (S) mit I _p (v) = 1 ist II _p (v) = κ _N (v). Das erkl¨ art, warum das Minuszeichen ein- gef¨ ugt wurde. Die Eigenwerte der zweiten Fundamentalform sind die Hauptkr¨ ummungen, die zugeh¨ origen Eigenvektoren sind die Hauptkr¨ ummungsrichtungen (unter den Eigenwerten und Eigenvektoren von II _p versteht man die von L).

Definition: K := det(N _∗,p ) heißt Gauß’sche Kr¨ ummung, H := − Spur(N _∗,p )/2 heißt mitt- lere Kr¨ ummung von S in p.

Sind κ 1 , κ 2 die Hauptkr¨ ummungen, so ist

K = κ 1 κ 2 und H = κ 1 + κ 2

2 .

Versieht man T p (S) mit der Basis {ϕ u , ϕ v }, so kann man alle betrachteten Gr¨ oßen in lokalen Koordinaten bez¨ uglich dieser Basis ausrechnen. Schreibt man

N u = a 11 ϕ u + a 21 ϕ v und N v = a 12 ϕ u + a 22 ϕ v , so wird N _∗,p durch die Matrix

a 11 a 12

a 21 a 22

beschrieben. Weiter sei e := −hN u , ϕ u i = hN , ϕ uu i,

f := −hN v , ϕ u i = hN , ϕ uv i = −hN u , ϕ v i und g := −hN v , ϕ _v i = hN , ϕ vv i.

(Die Gleichungen kommen zustande, weil hN , ϕ u i = hN , ϕ v i = 0 ist; man differenziere dann einfach!)

Mit den in (2) eingef¨ uhrten Gr¨ oßen E, F und G folgt dann:

−

e f f g

=

a 11 a 21

a 12 a 22

·

E F

F G

,

und deshalb

a 11 a 21

a 12 a 22

= −1

EG − F ² ·

e f f g

·

G −F

−F E

und

K = eg − f ² EG − F ² . Ist K(p) 6= 0, so folgt außerdem:

K(p) = lim

U →p

µ(N(U )) µ(U ) ,

wobei U Umgebungen von p durchl¨ auft und µ die Fl¨ acheninhaltsfunktion bezeichnet.

Ein Diffeomorphismus F : S ₁ → S ₂ zwischen Fl¨ achen heißt eine Isometrie, falls f¨ ur alle p ∈ S ₁ und alle v, w ∈ T _p (S ₁ ) gilt:

I _p (v, w) = I _{F (p)} (F _∗,p v, F _∗,p w).

Ein herausragender Satz von Gauß (lateinisch Theorema Egregium) behandelt die Tatsache, dass die zun¨ achst extrinsisch - d.h. durch Bezug auf den umgebenden 3-dimensionalen Raum - definierte Gauß-Kr¨ ummung in Wirklichkeit eine intrinsische Gr¨ oße ist, d.h. von

” 2-dimensionalen“

Bewohnern der Fl¨ ache direkt bestimmt werden kann. Eigenschaften einer Fl¨ ache, die unter Iso- metrien erhalten bleiben, sind intrinsisch.

Ist F : S ₁ → S ₂ eine Isometrie, so gibt es zu jedem Punkt p ∈ S ₁ Parametrisierungen ϕ : P → S ₁ um p und ψ : Q → S ₂ um F (p), so dass die Gr¨ oßen E, F, G in beiden F¨ allen die gleichen Werte aufweisen. L¨ angen, Winkel und Fl¨ acheninhalte bleiben erhalten.

Umgekehrt kann man zeigen, dass der Koordinatenwechsel zwischen zwei Parametrisierungen (vgl. Vortrag 6) mit identischen Gr¨ oßen E, F, G eine lokale Isometrie ist.

Ist ϕ Parametrisierung einer Fl¨ ache S, so ist {ϕ u , ϕ v , N} eine Basis des R ³ , und jeden anderen Vektor kann man als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Insbesondere gilt:

ϕ uu = Γ ¹ ₁₁ ϕ u + Γ ² ₁₁ ϕ v + L 1 N, ϕ _uv = Γ ¹ ₁₂ ϕ _u + Γ ² ₁₂ ϕ _v + L ₂ N, und ϕ vv = Γ ¹ ₂₂ ϕ u + Γ ² ₂₂ ϕ v + L 3 N, sowie N u = a 11 ϕ u + a 21 ϕ v

und N v = a 12 ϕ u + a 22 ϕ v .

Die Koeffizienten Γ ^k _ij heißen Christoffel-Symbole, und es zeigt sich, dass L ₁ = e, L ₂ = f und L ₃ = g

ist. Man rechnet nach:

E F

F G

· Γ ¹ ₁₁

Γ ² ₁₁

=





 1 2 E u

F u − 1 2 E v





 ,

E F

F G

· Γ ¹ ₁₂

Γ ² ₁₂

=





 1 2 E _v 1 2 G _u







und

E F

F G

· Γ ¹ ₂₂

Γ ² ₂₂

=







F _v − 1 2 G _u 1 2 G _v





 .

Die Werte der Christoffel-Symbole h¨ angen also nur von den metrischen Koeffizienten E, F, G und deren Ableitungen ab. Unter Isometrien bleiben sie unver¨ andert.

Theorema Egregium (Gauß): Die Gauß’sche Kr¨ ummung ist intrinsisch, also invariant unter lokalen Isometrien.

Zum Beweis rechnet man nach, dass die folgende Formel gilt.

Γ ² ₁₂

u − Γ ² ₁₁

v + Γ ¹ ₁₂ Γ ² ₁₁ + Γ ² ₁₂ Γ ² ₁₂ − Γ ² ₁₁ Γ ² ₂₂ − Γ ¹ ₁₁ Γ ² ₁₂ = −EK.

Also h¨ angt K nur von den Christoffelsymbolen und deren Ableitungen ab.