Differentialgeometrie von Kurven und Fl¨achen

Differentialgeometrie von Kurven und Fl¨ achen

1 Kurven

Ausgezeichnete Parametrisierung(P. nach der Bogenl¨ange):kα⁰(t)k ≡1.

Lemma: Istn(t)≡1, so istn⁰(t)^•n(t)≡0.

Bogenl¨ange:s(t) :=

Z t

t0

kα⁰(u)kdu.

Istαregul¨ar (alsoα⁰(u)6= 0), so ists differenzierbar unds⁰(t) =kα⁰(t)k. Jede regul¨are Kurve besitzt eine ausgezeichnete Parametrisierung.

Seiαeine ausgezeichnet parametrisierte Kurve. Dann ist κ(s) =kα⁰⁰(s)k dieKr¨ummungbei α(s).

Istαbeliebig regul¨ar, so istκ=kα⁰⁰×α⁰k kα⁰k³ .

Bei ebenen Kurvenist man noch genauer. IdentifiziereR² mit C. Sei αausgezeichnet para- metrisiert,T :=α⁰,N := i·T. Dann istα⁰⁰=T⁰ orthogonal zuT, also parallel zuN. Die Basis {T, N}heißt

”begleitendes Zweibein“. Definiere dieorientierte Kr¨ummung κo durch α⁰⁰=κo·N.

Dann ist T^0•N =κ_o und κ=|κo|. Zu jeder Funktiong : I → Rgibt es eine ausgezeichnete Parametrisierungα:I→R² mit Kr¨ummungκ_o=g. Es gelten die Frenet’schen Formeln:

T⁰(s) = κ_oN, N⁰(s) = −κ_oT

Sei κ_o(s) 6= 0. Betrachtet man s₁, s₂, s₃ nahe s, so liegen die drei Punkte x_i = α(s_i) nicht auf einer Geraden und bestimmen eindeutig einen Kreis. L¨asst man dies_i gegensstreben, so streben die zugeh¨origen Kreise gegen den

”Schmiegkreis“ mit Mittelpunktc(s) auf der Normalen und Radius 1/κ(s).

Raumkurven:Seiα:I→R³eine ausgezeichnet parametrisierte Raumkurve,T =α⁰. WeilT⁰ senkrecht auf T steht, nennt man N := 1

κT⁰ denHauptnormalenvektor.

B:=T×NheißtBinormalenvektor. Dann ist{T, N, B}eine positiv orientierte ON-Basis des R³, das

”begleitende Dreibein“. Die vonTundNaufgespannte Ebene heißt

”Schmiegebene“, die vonTundBaufgespannte Ebene die

”rektifizierende Ebene“ und die vonNundBaufgespannte die”Normalenebene“. Es gelten die Frenet’schen Formeln:

T⁰(s) = κoN,

N⁰(s) = −κoT +τ B, B⁰(s) = −τ N

Der Faktorτ=N^0•Bheißt dieTorsion. Es gibt Formeln f¨urT,N,Bundτim Falle beliebiger regul¨arer Kurven. Sind Kr¨ummung, Torsion und Anfangswerte f¨urT, N, B gegeben, so gibt es dazu eine eindeutig bestimmte Kurve.

Ist die Kr¨ummung konstant und die Torsion = 0, liegt ein Kreis vor

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Globale Eigenschaften von Kurven:

Eine einfach geschlossene Kurveist durch eine periodische Parametrisierungα:R→R² mit kleinster Periode a > 0 gegeben. Man spricht von einer

”Jordan-Kurve“. Daf¨ur gilt der Jordan’sche Kurvensatz: Das Komplement von C = α(R) besteht aus zwei Zusammen- hangskomponenten (dem Inneren I(C) und dem ¨Außeren A(C)), C ist gleichzeitig Rand von I(C) und von A(C). Der Satz wird im Seminar nicht bewiesen. Im Folgenden geht es um einfach-geschlossene Kurven.

1. Die isoperimetrische Ungleichung:Sei`die L¨ange der Kurve undF der Fl¨acheninhalt vonI(C). Dann ist`²−4πF ≥0, und die Gleichheit gilt genau dann, wenn die Kurve ein Kreis ist.

Das bedeutet, dass bei fester L¨ange der Kreis diejenige Kurve ist, die das Gebiet mit gr¨oßtm¨ogli- chem Fl¨acheninhalt berandet.

2. Der Vier-Scheitel-Satz:

α(t) heißtScheitel, wennκ⁰_o(t) = 0 ist. Das bedeutet in der Regel, dassκo dort ein Maximum oder Minimum hat

Es gilt: Eine einfach geschlossene, ebene, konvexe Kurve hat mindestens vier Scheitel.

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