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Fourieranalysis, Übungsblatt 13

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Academic year: 2021

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L e h r s t u h l A f ü r M a t h e m a t i k

Prof. Dr. H. Führ M. Ensenbach

Aachen, den 03. Juli 2007

Fourieranalysis, Übungsblatt 13

Abgabe bis Dienstag, den 10.07.2007, 13:15 Uhr

Aufgabe 1 (2+4 Punkte) Seienm,n∈ Nmitm<n.

a) Zeigen Sie, daß

ϕ: S(Rn)→C, f 7→

Z

Rm

f(x, 0)dλλm(x) in S0(Rn)liegt.

b) Berechnen Sie ˆϕ explizit. Verwenden Sie dabei ohne Beweis folgende Aussage: Ist f ∈ S(Rn), so ist für 1 6m <ndiepartielle Fouriertransformierte

Fm(f): Rn =Rm×RnmRn, (y,z) 7→

Z

Rm

f(x,z)eihx,yiλ(x)

ebenfalls in S(Rn). Aufgabe 2 (4 Punkte)

Sei(ak)kZn eine Familie von Koeffizienten in C, zu der es ein C > 0 und ein N ∈ Ngibt mit|ak| 6C(1+|k|)N für allek ∈Zn. Beweisen Sie, daß

k

Zn

(x7→ akeihk,xi)

inS0(Rn)unbedingt konvergiert. Zeigen Sie dazu zunächst mit elementaren Methoden aus der Analysis, daß ∑kZn(1+|k|)α für alle α>n konvergiert.

Aufgabe 3 (3+4 Punkte)

Sei f : RR, x 7→ |sinx|. Dann hat f die absolut konvergente reelle Fourierreihe f(x) = 2

π4 π

k=1

cos(2kx) 4k2−1 .

a) Zeigen Sie direkt mit der Definition von2f (wobei f gemäß 4.22(a) mit einem Element aus S0(R) identifiziert wird), daß

2f =−f +2

kZ

δπk

gilt.

(2)

b) Leiten Sie das Ergebnis aus Teil (a) durch gliedweises Differenzieren der Fourierreihe her.

Aufgabe 4 (6+3+2+2 Punkte) Es sei ϕ∈ S0(R)gegeben durch

ϕ(f) = PV

 Z

R

f(x)

x dλλ(x)

. Fürε>0 definiere Fε,Sε : RRdurch

Fε(x) = x

x2+ε2, Sε(x) = eε|x|sgnx

für allex∈ R, wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet (das heißt sgn 0=0, sgnx =1 fürx >0 und sgnx=−1 für x<0).

a) Zeigen Sie lim

ε0 Fε =ϕund lim

ε0 Sε =sgn in S0(R). b) Beweisen Sie ˆSε =−2iFε für alle ε>0.

c) Bestimmen Sie ˆϕund sgn mit den Ergebnissen aus (a) und (b).d d) Bestimmen Sie ˆH für dieHeaviside-Distribution

H :RR, x 7→

(1, fallsx >0, 0 sonst.

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