Übungsblatt 13

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Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Andreas Prohl Fabian Merle, Jörg Nick

Numerik

Wintersemester 2019/20 Tübingen, 22.01.2020

Übungsblatt 13

Dieses Übungsblatt dient zur Vorbereitung der Klausur - und wiederholt damit einige Themen der Vorlesung. Bitte beachten Sie, dass der gesamte Vorlesungsstoff Grundlage für die Klausur sein wird.

Problem 1. Seia < bundf : [a, b]→Reine glatte Funktion.

Leiten Sie für drei äquidistante Stützstellen die zugehörigen abgeschlossenen Newton-Cotes Quadra- turformel her und schreiben Sie diese in der Form

2

X

i=0

αif(bi),

mit zu bestimmenden Gewichten{αⁱ}²i=0 und zu bestimmenden Knoten {bⁱ}²i=0. Unter welchem Na- men ist die Quadraturformel bekannt?

Problem 2: SeiA∈R^n×neine quadratische Matrix und es existieren eine linke untere Dreiecksmatrix L∈R^n×nund eine rechte obere DreiecksmatrixR∈R^n×n, sodassA=LR.

a) Geben Sie einen Algorithmus an, der inO(n)Rechenschritten überprüft, obAinvertierbar ist.

b) Beweisen oder widerlegen Sie, ob eine solche Zerlegung inLundReindeutig ist.

c) Führen Sie eineLR−Zerlegung (ohne Pivotierung) durch der Matrix

A= 3 2 6 6

!

∈R^2×2.

Problem 3: SeiT >0undλ >0. Gegeben sei das Anfangswertproblem

y^′(t) =λy(t) ∀t∈]0, T], y(0) = 1.

Betrachten Sie das äquidistante Gitter0 =t0< ... < tN =T mittn−tn−1=h= N^T, wobein= 1, ..., N undN ∈N.

Approximieren Sie obiges Anfangswerproblem mit Hilfe des expliziten Euler-Verfahrens und zeigen Sie, dass

N→∞lim yN^EE =e^λT,

wobeiyN^EE die zugehörige Euler-Approximierte vony(T)bezeichnet.

In wie fern ändert sich das Vorgehen, wenn man statt des expliziten Euler-Verfahrens das implizite Seite 1/2

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Euler-Verfahren verwendet?

Hinweis: Die Iterationsvorschrift des impliziten Euler-Verfahrens lautet für ein allgemeines Anfangs- wertproblem

y^′(t) =f(t, y(t)) ∀t∈[0, T], y(0) =y0

wie folgt:

y^{I E}0 =y0,

y^{I E}n =yn−1^{I E} +hf(tn, yn^{I E}) ∀n= 1, ..., N.

Besprechung der Übungsaufgaben am Dienstag, den 28.01.2020.

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