Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur

(1)

Aufgabe 0.1 Vereinfachen Sie folgende Terme:

(a)

2a²x² 3b²y²

3

·

4b³x² 3a³y³

4

·

9a³y⁶ 8b³x³

2

, a, b, x, y >0

(b) ^(2ax+2ay)_(cx2−cy^m²^(bx−by))^m+2 ⁿ, |x| 6=|y|. . . (c) √

a²−b² qa+b

a−b, a > b >0 (d)

√ a+b√

a²+b²

√a⁴−b⁴ , a > b >0 (e) ^√^a−b

a+√

b, a, b >0

Aufgabe 0.2 Sei x eine reelle Zahl (x∈ R). Ermitteln Sie x aus den folgenden Gleichungen:

(a) ^3x−10_5x−10+^x−8_x−2 = 2−_7x−14^5x−2 (b) _4x^6x2−1² −_2x+1³ = _2x−1^3x (c) ||x+ 1| −2|= 1 (d) √

2 +x+√

2−x= 2√ x−1 (e) 2 log₂(4−x) + 4 = log₂(x+ 5)−1 (f ) log₅x= log₅6−2 log₅3

Aufgabe 0.3 Vereinfachen Sie:

(a) sin⁴x−cos⁴x, (b) sin⁴x+1

2sin²(2x) + cos⁴x.

(2)

Aufgabe 0.4 Bestimmen Sie alle L¨osungen x ∈ R der folgenden Unglei- chungen:

(a) _x−2^x² <−4

(b) _x−2^x² <|x+ 1| −1 (c) 1−lg(2x+ 7)>0

Aufgabe 0.5 Berechnen Sie f¨ur die Polynome

P1(x) = 2x⁵−6x⁴−6x³+ 22x²−12x und P2(x) = (x−1)² den Quotienten P₁(x)/P₂(x).

Besprechung in der ersten Vorlesungswoche ohne Votierung!

(3)

Aufgabe 1.1 Gegeben seien die folgenden Aussagen:

A: Der Studierende hat am Vorkurs zur Mathematik teilgenommen.

B: Der Studierende kommt ausgeschlafen zur Lehrveranstaltung.

C: Der Studierende besucht die Vorlesung zur Mathematik.

E: Der Studierende kann die ¨Ubungsaufgaben in der ¨Ubung vorrechnen.

F: Der Studierende beschftigt sich rechtzeitig vor der ¨Ubung mit den ¨Ubungs- aufgaben.

1. Beschreiben Sie unter Verwendung dieser Aussagen symbolisch : (a) Wenn der Studierende am Vorkurs teilgenommen hat und ausge-

schlafen zur Lehrveranstaltung kommt, kann er die ¨Ubungsaufga- ben vorrechnen.

(b) Wenn der Studierende nicht am Vorkurs teilgenommen hat und nicht die Vorlesung besucht, aber sich mit den Übungsaufgaben rechtzeitig beschäftigt, kann er die Übungsaufgaben vorrechnen.

(c) Der Studierende kann genau dann die Übungsaufgaben nicht vorrechnen, wenn er den Vorkurs nicht besucht hat oder nicht ausgeschlafen die Vorlesung besucht oder sich nicht mit den Übungs- aufgaben beschäftigt.

2. Bilden Sie die Negation der Aussageverbindung unter 1.(a) und for- mulieren Sie diese in Worten.

Aufgabe 1.2 Schreiben Sie

die folgenden Aussagen mit den logischen Operationszeichen:

(a) nicht nur A, sondern auch B, (b) wenn A, so nicht B, (c) es ist nicht wahr, daß A, oder B, (d) weder A noch B,

(e) dann, aber nur dann A, wenn nicht B, (f ) A, vorausgesetzt, dass B.

(4)

Aufgabe 1.3 Eine Aussageverbindung wird Tautologie genannt, wenn sie unabh¨angig vom Wahrheitswert der zugrundeliegenden Bestandteile immer wahr ist. Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, dass die folgenden Aus- sagen Tautologien sind:

(a) (A∨B)⇐⇒(A∧B)

(b) (A∧(B∨C)]⇐⇒[(A∧B)∨(A∧C)) (c) (A=⇒B)⇐⇒(A∨B)

(d) (A=⇒(B =⇒C))⇐⇒((A∧B) =⇒C))

Aufgabe 1.4 Schreiben Sie

(a) die Negation folgender Aussageverbindung als Implikation:

A∧(B=⇒C)

(b) die folgende Aussageverbindung logisch ¨aquivalent unter Benutzung m¨oglichst weniger Zeichen:

{[((A∧A)∨B)∧(B∧(C∨C))] =⇒((A∧C) =⇒B))} ∧A

Aufgabe 1.5 Zum Beweis eines mathematischen Satzes in Form einer Im- plikation (a):A =⇒ B oder einer Äquivalenz (b): A ⇐⇒ B kann die Gültigkeit hierzu äquivalenter Aussageverbindungen nachgewiesen werden.

Begr¨unden Sie dieses Vorgehen, indem Sie zeigen, dass die folgenden Aus- sageverbindungen Tautologien sind:

(a1) (A=⇒B)⇐⇒(B =⇒A) (Beweis der Kontraposition)

(a2) (A=⇒B)⇐⇒((A∧B) =⇒(C∧C))(Indirekter Beweis/Wiederspruchsbeweis) (b) (A⇐⇒B)⇐⇒((A⇒B)∧(B⇒A))(Beweis beider Implikationen)

Votierungswoche: 16.10. - 20.10.2017

(5)

Aufgabe 2.1 Veranschaulichen Sie die folgenden Mengen geeignet, also auf einer Zahlengeraden bzw. in einem x,y- oder x,y,z-Koordinatensystem:

(a) {x∈R|x= n+ 1

n² ∧n∈N∧1≤n≤6}

(b) {(x, y)∈R²|x²+ 2x= 3−y²}

(c) {(x, y, z)∈R³ |x= 1 + 2λ∧y= 1−λ∧z= 3λ∧0≤λ≤3∧λ∈R}

Aufgabe 2.2 Gegeben sei die Menge M = {1,2,3,4,5} und die Menge N ={1,3,5,7,13}.

(a) Bestimmen Sie alle MengenA, f¨ur die gilt: {1,2} ⊆A⊆M.

(b) Bestimmen Sie die MengenB, f¨ur die gilt: B∩M =∅∧B∪M =N.

Aufgabe 2.3 MitA, B, Cwerden die folgenden Punktmengen derx, y-Ebene bezeichnet:

A=

(x, y)∈R² |x²+y² ≤1 , B =

(x, y)∈R²|x=y ∨ x=−y , C=

(x, y)∈R² |x≤y . Stellen Sie folgende Mengen in der x, y-Ebene dar:

(a) A, B, C und A∩B∩C

(b) (B∪C)\A, B∪(A\C) und A\(B∪C).

Aufgabe 2.4 Sei M eine Menge und seien A, B, C, D ⊆M Mengen. Be- weisen oder widerlegen Sie:

(a) (A\B)∪(C\D) = (A∪C)\(B\D), (b) A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C).

(6)

Aufgabe 2.5 Sei

A = {x∈R|0≤x≤1 ∨ x= 3},

B = {y∈R|1< y≤3 ∨ y= 4 ∨ 5≤y <6}. Skizzieren Sie A×B in der x, y-Ebene.

(7)

Aufgabe 3.1 Gegeben sind A={1,2,3,4,5} und f₁ :A→N, f₁(x) = 3x−1;

f2 :A→N, f2(x) =x²−6x+ 10;

f₃ :A→ {1,2,5}, f₃(x) =x²−6x+ 10;

f₄ :A→ {2,5,8,11,14}, f₄(x) = 3x−1.

(a) Welche der Abbildungen sind surjektiv, injektiv oder bijektiv?

(b) Geben Sie, wenn m¨oglich, die Umkehrabbildungen an.

Aufgabe 3.2 Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen f : A → B injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.

(a) A= [1,2], B= [1,3], f(x) =|x|

(b) A= [−1,1], B= [0,1], f(x) =|x|

(c) A= [0,1], B= [−¹₈,1], f(x) = 2x²−x (d) A= [0,6], B= [−1,1], f(x) =√

x−5

(e) Seien M eine beliebige Menge und A=B=P(M) ihre Potenzmenge.

F¨ur Q∈ P(M) sei f(Q) =M\Q.

Aufgabe 3.3 Skizziere die Graphen folgender Funktionen f :D → R mit y=f(x):

(a) D=R>1, y= ln(x−1), (b) D=R>0, y= lnx−1,

(c) D=R, y= 2 + cosx, (d) D=R, y= 2 sin 3x,

(e) D=R>−1, y=|x| −x.

Aufgabe 3.4 Seienf1 :R→R≥0, x7→4x²+ 1und f2:R≥0 →R, x7→√ x.

(a) Untersuchen Sie f₁ und f₂ auf die Eigenschaften Surjektivität, Injek- tivität und Bijektivität.

(b) Bestimmen Sie f¨ur die Kompositionen f1◦f2 und f2◦f1 das Bild und die Fasern von 5.

(8)

Aufgabe 3.5 Es seien L₁, L₂ ⊂ R² zwei verschiedene Geraden. Wir betrachten die Abbildungen

s₁:R² →R², Spiegelung an L₁, s2:R² →R², Spiegelung an L2. Beschreiben Sie die Kompositions2◦s1.

(Hinweis: betrachten Sie zuerst den Fall, dass L1 und L2 parallel sind.)

(9)

Aufgabe 4.1 Ein Bit ist ein Element von{0,1}und ein Wort ist eine Folge von 16 Bits.

(a) Wie viele verschiedene W¨orter gibt es?

(b) Wie viele W¨orter haben genau zehn 1?

(c) Auf wie viele Weisen kann man die Doppelbits 00, 00, 01, 01, 01, 01, 10, 11 zu einem Wort anordnen?

Aufgabe 4.2 (a) Der Name einer Variablen in einem C-Programm ist ein Wort über dem Alphabet, das aus Kleinbuchstaben, Großbuchstaben, Ziffern und dem Unterstrich besteht. Der erste Buchstabe des Wortes darf keine Ziffer sein. Wie viele verschiedene Variablennamen inC sind möglich, wenn eine Variable durch die ersten 8 Zeichen festgelegt ist? (Beachte: Es sind auch Namen mit weniger als8 Zeichen zulässig!)

(b) Jeder Nutzer eines Netzwerkes hat ein Passwort, das aus 6 bis 8 Zei- chen besteht, wobei jedes Zeichen ein Kleinbuchstabe oder eine Ziffer ist.

Jedes Passwort muss mindestens eine Ziffer enthalten. Wie viele verschiedene Passw¨orter sind m¨oglich?

Aufgabe 4.3 Zeigen Sie die Formel

n

P

k=0 n k

= 2ⁿ auf drei Weisen:

(a) Mit der binomischen Formel.

(b) Mit vollst¨andiger Induktion.

(c) Mit Anzahlen von Mengen.

(10)

Aufgabe 4.4 Zeigen Sie mithilfe vollst¨andiger Induktion:

(a) F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen ngilt:

n

P

k=0

k² = ¹₆n(n+ 1)(2n+ 1).

(b) Für alle natürlichen Zahlen ngilt: 47 ist ein Teiler von 7²ⁿ−2ⁿ. (c) Für alle natürlichen Zahlen n≥10 gilt: n!>2ⁿ> n³.

Aufgabe 4.5 Finden Sie Formeln f¨ur die Zahlen S(n) sowie D(n) und be- weisen Sie Ihre Formeln mit vollst¨andiger Induktion.

(a) S(n) =

n

X

k=0

k³.

(b) Die Anzahl D(n) der Diagonalen eines regelm¨aßigen n-Ecks (n≥3).

(11)

Aufgabe 5.1 Gegeben sei die bin¨are Relation R⊂M×M auf der Menge M ={1,2,3,4} mit R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(x, y),(4,4)}.

(a) Bestimmen Sie x, y so, dass die Relation R nur reflexiv und nicht symmetrisch und transitiv wird.

(b) Bestimmen Siex, yso, dass die Relation Rnur symmetrisch und nicht reflexiv und transitiv wird.

(c) Bestimmen Sie x, y so, dass die Relation R nur transitiv und nicht reflexiv und symmetrisch wird.

Aufgabe 5.2 Untersuchen Sie, ob folgende bin¨are Relationen R⊂M×M auf der Menge M Aquivalenzrelationen sind.¨

Bestimmen bzw. veranschaulichen Sie gegebenenfalls die ¨Aquivalenzklassen.

(F¨ur x∈R bezeichnetdxe die kleinste Zahlk∈Z mit k≥x.) (a) M =R, x₁R x₂⇔ dx₁e=dx₂e

(b) M =R², (a, b)R(c, d)⇔a−d=c−b

(c) M ={(x, y)∈R² : x≥0}, (x₁, y₁)R(x₂, y₂)⇔x²₁+y²₁ =x²₂+y²₂

Aufgabe 5.3 Geben Sie einstellige Repr¨asentanten f¨ur die folgenden Rest- klassen in Z/13Z an:

7 + 8, 7·8, 6³, 8¹⁰⁴³.

Bestimmen Sie multiplikative Inverse f¨ur alle n∈Z/13Z, n6= 0.

Aufgabe 5.4 Wir betrachten die folgenden drei Vektoren in der Ebene:

v1= 2

1

, v2 = −3

−2

, v3 = 1

1

.

(a) Zeichnen Sie die Vektorenv1, v2, v3, −3v₁ und 2v1+v2. (b) Finden Sie Skalare λ1, λ2 ∈Rmit v3 =λ1v1+λ2v2.

Zeichnen Sieλ₁v₁ und λ₂v₂.

(12)

Aufgabe 5.5 Berechnen Sie f¨ur die Matrizen

A=

1 −2 4

−2 3 −5

, B =



 2 4 3 6 1 2



, C =

−2 1 0 3

, v=



 1

−1 2





(a) B+A^t, A+B^t.

(b) A·v, v^t·B, v·v^t, v^t·v, A·B, B·A, A·C, C·B, C², A·B·C.

(13)

am Endpunkt anzutragen und einen der neun Vekto- ren (x, y) zu addieren, x, y ∈ {−1,0,1}. In nebenste- henden Bild sind alle•für den nächsten Zug zulässig.

Was ist die beste Zeit (d.h. die wenigsten Z¨uge) f¨ur die folgende Rennstrecke?

FINISH

START

(14)

Mathematik I f¨ur Informatiker – WS 2017/2018 Otto-von-Guericke Universit¨at Magdeburg

Prof. Dr. David Ploog, Dr. Michael H¨oding

Ubung 6¨

Aufgabe 6.1 Geben Sie alle L¨osungen dieses Gleichungssystems an:

x₁ + 3x₂ + 5x₃ + 2x₄ = 1 3x₁ + 9x₂ + 10x₃ + x₄ + 2x₅ = 0 2x2 + 7x3 + 3x4 − x5 = 3 2x₁ + 8x₂ + 12x₃ + 2x₄ + x₅ = 1

Aufgabe 6.2 Für welcheα ∈R haben folgende Gleichungssysteme über R Lösungen? Für welche α gibt es eine eindeutige Lösung?

(a)

x + y + z = 1 x + 2y + z = 1 x + y + α z = 1

(b)

x + y + 3z = 2

3x + y − z = 0

2x − α²z = α

(c)

x₁ − x₂ + x₃ = −3 x1 + x2 − x3 = 7 3x1 − x2 + x2 = α

.

Aufgabe 6.3 Berechnen Sie die R¨ange der folgenden Matrizen:

A₁=

4 6 2 3

, A₂ =



 1 2 4 5 7 8



, A₃=







1 2 3 4 5 3 2 1 9 7 2 1 0 3 2 5 6 7 6 9







Aufgabe 6.4 Berechnen Sie die inverse Matrix von

B =







3 0 2 0 0 1 0 2 2 0 1 0 0 3 0 2





 .

Aufgabe 6.5 Es seien v, w∈Rⁿ zwei Vektoren, als Spaltenvektoren aufge- fasst. Dann ist C:=v·w^t eine n×n-Matrix. Zeigen Sie rg(C)≤1.

(15)

Aufgabe 7.1 Welche der folgenden Teilmengen vonR³ sind Untervektorr¨aume?

U1:={(x, y, z)|3x−4y+ 2z= 0, x+ 2y−z= 0}

U₂:={(x, y, z)|x, y, z ∈Q} U₃:={(x, y, z)|x≥0}

U₄:={(2t+s, s, t−s)|s, t∈R}

Aufgabe 7.2 Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren linear abhängig bzw. unabhängig sind. Stellen Sie bei linearer Abhängigkeit einen Vektor als Linearkombination der anderen dar. Überprüfen Sie bei linearer Un- abhängigkeit, ob die Vektoren eine Basis des jeweiligen Vektorraumes bilden:

(a) (1,1,1)^t,(0,2,1)^t,(0,2,0)^t∈R³.

(b) (1,1,1,1)^t,(2,3,2,0)^t,(3,5,4,2)^t,(2,4,5,7)^t∈R⁴.

(c) f1, f2, f3 ∈ C(R) (Vektorraum der stetigen Funktionen R → R) mit f₁(x) = sin²x, f₂(x) = cos²x und f₃(x) = cos 2x.

Aufgabe 7.3 In dem VektorraumV =M(2,2,R)der reellen2×2-Matrizen betrachten wir die folgenden drei Teilmengen:

S1 :={I₂, A, A², A³}, A= ¹₃ ²₅ , S2 :={B, I₂+B, I2+ 2B}, B = ⁵₂ ⁴₄

, S3 :={C, C^t, C⁻¹, C²,(C²)^t}, C= ³₄ ²₃

. Welche Si sind linear unabh¨angig, Erzeugendensystem oder Basis?

(Hinweis: Identifizieren Sie2×2-Matrizen mit Vektoren inR⁴.)

Aufgabe 7.4 Sei U = span_R((1,1,1)^t) ⊂ R³ ein Untervektorraum und V :=R³/U der Quotientenvektorraum. Zeigen Sie, dass die beiden Vektoren

v1=



 1 3 2



, v2 =





−1 5 2





linear unabh¨angig in R³ sind und dass v₁, v₂ ∈V linear abh¨angig sind.

(16)

Aufgabe 7.5 Seien

V := Abb(R) ={f:R→R}=R^R, (alle Funktionen R→R) U1:={f ∈V |f(−x) =−f(x) ∀x∈R} (ungerade Funktionen) und U2:={g∈V |g(−x) =g(x) ∀x∈R} (gerade Funktionen).

Zeigen Sie

(a) U1 und U2 sind Untervektorr¨aume vonV. (b) U1∩U2 ={0}.

(c) V =U1+U2.

(Hinweis zu (c): Betrachten Sie f¨urh∈Abb(R,R)die Funktionenh(x)±|h(x)|

2 .)

(17)

Aufgabe 8.1 Bestimmen Sie eine Basis des QuotientenraumesR⁴/U mit U ={(x₁, x2, x3, x4)^t∈R⁴|x1+ 2x2 = 0, x3+ 3x4= 0}.

Aufgabe 8.2 Gegeben seien die beiden Untervektorr¨aume U₁, U₂ ⊆R⁴: U₁ = span_R (3,7,3,4)^t,(3,8,6,5)^t

, U2 = span_R (1,−1,2,1)^t,(5,1,6,5)^t

.

Bestimmen Sie Basen f¨ur U1∩U2 ⊆R⁴ und f¨ur U1+U2 ⊆R⁴.

Aufgabe 8.3 Gegeben sei die komplexe Zahlz=√ 3−i.

(a) Berechnen und zeichnen Sie z², z,1/z (b) Berechnen und zeichnen Sie √

z, also alle w∈C mit w²=z.

(c) Geben Sie z in trigonometrischer und Exponentialdarstellung an.

(d) Berechnen Sie z⁷⁵² in Exponentialdarstellung.

Aufgabe 8.4 Berechnen Sie die Inversen folgender Elemente:

(a) 13∈F31

(b) 230∈F1003

Aufgabe 8.5 Bestimmen Sie die L¨osung ¨uber K von:

(a) 4x1 + 3x2 + 5x3 = 1

x₁ + 8x₂ + 6x₃ = 3 mit K=F7,

(b)

(3 +i)x₁ − 4ix₂ + ix₃ = 2 +i 2x1 − 2ix2 − 2x3 = 2−i ix₁ + x₂ + (1 +i)x₃ = i

mit K=C.

(18)

Ubung 9¨

Aufgabe 9.1 Bestimmen Sie f¨ur die folgende (F7-lineare) Abbildung

α:F⁴₇ →F³₇,





 x₁ x₂ x3

x₄





 7→





2x₁+ 3x₂+x₄ 3x1+x2+ 4x3+ 2x4

5x1+ 4x2+x3





die Dimensionen von Kern und Bild.

Aufgabe 9.2 Sei α∈C und fα:C³→C³ die lineare Abbildung

f_α(x) =





2 4 2α

−1 −1 −1 1 α+ 2 9



x,

und sei b= (6,−4,6)^t. Bestimmen Sie alle α∈C mit:

(a) ker(fα) ={0}.

(b) b hat unendlich viele Urbilder unter f_α. (c) b6∈im(f_α).

Aufgabe 9.3 Wir betrachten den Q-Vektorraum V := M(2,2,Q) der 2×2-Matrizen mit rationalen Einträgen. Wählen Sie eine Basis B für V und berechnen Sie die Abbil- dungsmatrix M_B^B(ψ) für die folgende Q-lineare Abbildung

ψ:V →V, A7→A+A^t−2tr(A)·I2

(dabeiI₂= ¹₀ ⁰₁

die Einheitsmatrix und tr( ^a_c _d^b

) =a+ddie Spur).

Aufgabe 9.4 Es seiR[x]≤3derR-Vektorraum aller Polynome inxvom Grad h¨ochstens 3. Welche der folgenden Abbildungen sindR-linear?

(a) a:R[x]≤3 →R, a(f) =f(1)

(b) b:R[x]≤3→R, b(f) =

2

R

0

f(t²) dt

(c) c:R[x]≤3 →R[x]≤3, c(f) =f(0)·x²+f(1)·x+ 3·f(2)

Aufgabe 9.5 Zeigen Sie, dassQ(√

2) :={a+b√

2|a, b∈Q} mit den Operationen von R ein K¨orper ist. Bestimmen Sie dim_Q(Q(√

2)).

(19)

Aufgabe 10.1 Es sei U := {(x, y, z)^t ∈ C³ |x+y+z = 0}. Zeigen Sie, dass die Abbildung

ϕ:U ×U →C³, (~u₁, ~u₂)7→~u₁+~u₂

C-linear ist und bestimmen Sie eine Basis vonker(ϕ).

Aufgabe 10.2 Wir betrachen den R-Untervektorraum

V :={f(x)∈R[x]|deg(f)≤5, f(1) = 0} ⊂R[x]

aller reellen Polynome vom Grad h¨ochstens 5, die 1 als Nullstelle haben.

W¨ahlen Sie eine Basis B f¨urV und geben Sie die Abbildungsmatrix M_B^B(ϕ) der folgendenR-linearen Abbildung an:

ϕ:V →V, f(x)7→(x−1)·f⁰⁰(x) +f(2)·(x²−x).

Aufgabe 10.3 Gegeben die Basen B ={b₁, b₂, b₃}, C={c₁, c₂, c₃} von F³₇,

b₁ =



 0 1 2



, b₂=



 1 3 1



, b₃=



 3 2 4



, c₁=



 3 3 1



, c₂=



 4 1 2



, c₃ =



 0 3 1



,

bestimmen Sie die BasiswechselmatrixM, dieB-Koeffizienten inC-Koeffizienten umrechnet. Testen Sie die MatrixM an dem Vektor v= 2b₁+ 3b₂+ 4b₃. Aufgabe 10.4 Berechnen Sie die Determinanten dieser reellen Matrizen:

A=

e^x e^−2x e^x −2e^−2x

, B =







1 1 0 2 4

−1 1 4 3 1 2 −4 1 9 −2

4 0 3 1 3

0 2 3 5 4





 .

Aufgabe 10.5 Berechnen Sie die Determinanten dieser Matrizen:

C=







3 1 0 1 1 2 1 0 3 0 0 2 1 2 3 4







∈M(4,F5), D=





i 1 2−i

1 3i −4

1 +i −2−i 0



∈M(2,C).

(20)

Ubung 11¨

Aufgabe 11.1 Bestimmen Sie alle (reellen und komplexen) Nullstellen der folgenden Polynome:

(a) p(t) =t³−2t²−23t−6 (b) q(t) =t⁴+ 3t³−5t²−6t−8 (c) r(t) =t⁹−1

Aufgabe 11.2 Bestimmen Sie die Eigenwerte der reellen Matrizen

A=





2 2 1 1 3 1 1 2 2



 und B =





2 0 0

2 1 −2

−1 0 2



.

Aufgabe 11.3 Bestimmen Sie alle Eigenwerte f¨ur die MatrixA∈M(3, K) mit (a) K =C und (b) K=F7:

A=





1 −6 −6

1 4 1

3 −6 −3



.

Aufgabe 11.4 L¨osen Sie die EigenwertaufgabeAx=λxmit K=Q durch Angabe aller Eigenwerte und der zugeh¨origen Eigenvektoren:

(a) A=

2 1 4 −1

, (b) A=





1 0 0

3 3 −4

−2 1 −2



.

Aufgabe 11.5 Es seien V := R[x]≤3 der R-Vektorraum der reellen Poly- nome vom Grad h¨ochstens 3 und ϕ:V →V, p(x)7→x·p⁰(x) eine R-lineare Abbildung. Berechnen Sie die Eigenwerte von ϕin den folgenden Schritten:

1. Wählen Sie eine (möglichst einfache!) Basis B fürV.

2. Bestimmen Sie die AbbildungsmatrixM :=M_B^B(ϕ) vonϕbez¨uglichB. 3. Berechnen Sie die Eigenwerte von M.

(21)

Aufgabe 12.1 Diagonalisieren Sie die Matrix A = ₋₂¹ ⁻²₄

∈ M(2,R), bestimmen Sie also eine Matrix B ∈GL(2,R), so dass B⁻¹AB eine Diago- nalmatrix ist.

Aufgabe 12.2 Wir betrachten C ∈M(3,Q) und x∈Q³ mit

C=





c₁ 2 2 2 c2 1 2 1 c₃



, x=



 1 0

−2



.

Es seix ein Eigenvektor von C zum Eigenwert λ₁ = 1.

(a) Was folgt hieraus f¨ur die Konstanten c₁, c₂, c₃? (b) F¨ur welche c1, c2, c3 ist 1 ein doppelter Eigenwert?

(c) Geben Sie f¨ur (b) auch den dritten Eigenwert an.

Aufgabe 12.3 Untersuchen Sie, ob diese Matrizen diagonalisierbar sind:

D=





2 1 1 1 3 1 1 2 2



, E=





2 0 0

2 1 −2

−1 0 2



.

Aufgabe 12.4 Geben Sie Adjazenzmatrizen f¨ur die folgenden Graphen an:

G₁: G₂ : G₃:

Berechnen Sie die Eigenwerte f¨ur ein A(G_i) Ihrer Wahl.

Aufgabe 12.5 Geben Sie formale Definitionen der folgenden Begriffe:

1. Gerichteter Graph.

2. (Ungerichteter) Graph mit Schleifen.

3. (Ungerichteter) Graph mit Schleifen und Mehrfachkanten.

(22)

Ubung 13¨

Aufgabe 13.1 Gegeben seien die Vektoren

v₁ =





−1 4 8



, v₂=





1−4√ 3

−4 + 7√ 3

−8−4√ 3



.

Berechnen Sie

(a) das Skalarprodukt hv₁, v2i;

(b) die L¨angenkv₁k und kv₂k;

(c) den Winkel^(v₁, v₂);

(d) den Abstand d(v1, v2);

(e) einen Vektor v₃6= 0, der senkrecht aufv₁ und v₂ steht.

Aufgabe 13.2 Eine Matrix A∈M(n,R) definiert eine Abbildung

bA:Rⁿ×Rⁿ→R, bA(v, w) :=v^tAw.

F¨ur welche der folgenden Matrizen A_i ∈ M(2,R) ist die Abbildung b_A_i ein Skalarprodukt, also symmetrisch, bilinear und positiv definit?

A₁ = ⁴₁ ²₄

, A₂= ¹₀ ⁰₁

, A₃ = ⁰₁ ¹₀

, A₄ = ³₂ ²₁

, A₅ = ₋₁² ⁻¹₃ .

Aufgabe 13.3 Es sei sv:R³ → R³ die Spiegelung an der Ebene v^⊥ ⊂ R³ mit v = (3,4,2)^t. Geben Sie die Matrixdarstellung M = M_EÊ(s_v) von s_v an (bezüglich der Standardbasis von R³). Testen Sie, ob für Ihre Matrix gilt: M² = I3; Spur(M) = 1; det(M) = −1; v ist Eigenvektor von M (zu welchem Eigenwert?).

Aufgabe 13.4 Zeigen Sie, dass

B =









 2 4

−4



,



 11 13

−4



,





−2

−13 4











eine Basis des R³ ist und wandeln Sie B mit Hilfe des Gram-Schmidt- Verfahrens in eine Orthonormalbasis um.

Aufgabe 13.5 Bestimmen Sie den Rang der R-linearen Abbildung

σ:M(2,R)→M(2,R), A7→ 1

2(A+A^t).

(23)

Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur

Aufgabe 1 Diagonalisieren Sie die Matrix A = ⁴₁ ⁶₂

und berechnen Sie B⁻¹AB f¨ur Ihre Basis B.

Aufgabe 2 Berechnen Sie die Eigenwerte und einen Eigenvektor f¨ur





4 −6 −7

−2 3 2 2 −6 −5



.

Aufgabe 3 Berechnen Sie die Eigenwerte f¨ur







0 0 3 −1

−6 −3 −2 3

2 0 1 −1

−8 −5 3 2





 .

Aufgabe 4 Ist die folgende Abbildung injektiv?

f:R³ →R⁴,



 x y z



7→







x+ 3y+ 2z 3x+ 5y+z

−x+ 5y+ 8z

−6x+ 4y+ 5z







Aufgabe 5 Berechnen Sie das Inverse der Matrix 3 9

2 5

∈M(2,F17).

Aufgabe 6 Es seien U = span_Q((1,1,1)^t,(2,3,1)^t) ⊂Q³ und V := Q³/U sowie v= (4,3,1)∈Q³ und v∈V die Klasse vonv. Gilt v= 0 in V?

Aufgabe 7 Wie viele Elemente hat ein 12-dimensionaler F2-Vektorraum V? Gegeben seien zehn paarweise verschiedene Vektoren v1, . . . , v10 ∈ V, wie viele Teilmengen {v_i, vj, v_k} gibt es?

Aufgabe 8 Es sei M = M(2,2,R) der Vektorraum der 2 ×2-Matrizen mit reellen Eintr¨agen. Geben Sie eine Matrixdarstellung f¨ur die folgende R-lineare Abbildung an:

γ:M →M, A7→ ³₄ ²₁

·A.

(24)

Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur

Aufgabe 1 Diagonalisieren Sie die Matrix A = ⁴₁ ⁶₂

und berechnen Sie B⁻¹AB f¨ur Ihre Basis B.

L¨osung: Die Eigenwerte sind 3±√

7 mit Eigenvektoren (6,−1±√ 7).

Die Basiswechselmatrix B = ₋₁₊⁶^√₇ ₋₁₋⁶^√₇

enth¨alt die Eigenvektoren als Spalten. Es istB⁻¹ = ₋₁₂¹^√

7

−1−√ 7 1−√

7

−6 6

.

B⁻¹AB= ³⁺

√ 7 0

0 3−√

7

.

Aufgabe 2 Berechnen Sie die Eigenwerte und einen Eigenvektor f¨ur





4 −6 −7

−2 3 2 2 −6 −5



.

L¨osung: Eigenwerte: 3,2,−3.

Aufgabe 3 Berechnen Sie die Eigenwerte f¨ur







0 0 3 −1

−6 −3 −2 3

2 0 1 −1

−8 −5 3 2





 .

L¨osung: Eigenwerte: 2,−2, i,−i.

Aufgabe 4 Ist die folgende Abbildung injektiv?

f:R³ →R⁴,



 x y z



7→







x+ 3y+ 2z 3x+ 5y+z

−x+ 5y+ 8z

−6x+ 4y+ 5z







(25)

Aufgabe 5 Berechnen Sie das Inverse der Matrix 3 9

2 5 ∈M(2,F17).

L¨osung: ₁₂⁴ ₁₆³ .

Berechnung der inversen Matrix mit dem Gauß-Algorithmus: (M |I2) mit Zeilenoperationen umformen zu (I₂ |M⁻¹). Berechnung von Divisionen in F17 mit dem Euklidischen Algorithmus.

Probe: ³₂ ⁹₅ ₄

12 3 16

= ¹²⁰₆₈ ¹⁵³₈₆

= ^1+17·7_17·4 _1+17·5^17·9

≡ ¹₀ ⁰₁

mod 17.

Aufgabe 6 Es seien U = span_Q((1,1,1)^t,(2,3,1)^t) ⊂Q³ und V := Q³/U sowie v= (4,3,1)∈Q³ und v∈V die Klasse vonv. Gilt v= 0 in V?

L¨osung:Elementev∈V /U sind Nebenklassenv=v+U ={v+u|u∈U}.

Insbesondere ist 0 = U. Also gilt v = 0 genau dann, wenn v ∈ U. Ob das der Fall ist, kann man mit einer Rangberechnung testen: die beiden U erzeugenden Vektoren bilden eine Matrix vom Rang 2. Seir der Rang der MatrixM, wenn man noch v hinzunimmt:

M =





1 2 4 1 3 3 1 1 1



.

Es gilt v ∈ U genau dann, wenn r = 2 (denn dann gibt es eine lineare Relation zwischen den Spalten, diev durch die Erzeuger vonU ausdr¨uckt.

(Weil r nur 2 oder 3 sein kann, ist eine Alternative, det(M) zu berechnen:

M hat maximalen Rang 3 genau dann, wenn det(M)6= 0.

Aufgabe 7 Wie viele Elemente hat ein 12-dimensionaler F2-Vektorraum V? Gegeben seien zehn paarweise verschiedene Vektoren v₁, . . . , v₁₀ ∈ V, wie viele Teilmengen {v_i, v_j, v_k} gibt es?

L¨osung: |F¹²₂ |= 2¹²= 4096.

Die Anzahl der 3-elementigen Teilmengen einer 10-elementigen Menge ist

10 3

= ^10·9·8_1·2·3 = 120. Die Aufgabe ist nicht ganz eindeutig gestellt: l¨asst man zu, dassvi =vj usw. auftreten kann, dann muss man die Teilmengen mit 1, 2 oder 3 Elementen zusammenfassen: ¹⁰₃

+ ¹⁰₂ + ¹⁰₁

= 120+45+10 = 175.

(26)

Aufgabe 8 Es sei M = M(2,2,R) der Vektorraum der 2 ×2-Matrizen mit reellen Eintr¨agen. Geben Sie eine Matrixdarstellung f¨ur die folgende R-lineare Abbildung an:

γ:M →M, A7→ ³₄ ²₁

·A.

L¨osung: Die ¨ublichen drei Schritte:

1. Basiswahl: die einfachste Basis ist

B = n

b1 = ¹₀ ⁰₀

, b2= ⁰₀ ¹₀

, b3= ⁰₁ ⁰₀

, b4 = ⁰₀ ⁰₁o .

Weil γ von M nach M abbildet, nehmen wir nat¨urlich dieselbe Basis f¨ur Start und Ziel.

2. Darstellung der Bilderγ(b_i) in der Basis. Hier:γ(b₁) = ³₄ ⁰₀

= 3b₁+ 4b₃, γ(b₂) = ⁰₀ ³₄

= 3b₂+4b₄,γ(b₃) = ²₁ ⁰₀

= 2b₁+b₃,γ(b₄) = ⁰₀ ²₁

= 2b₂+b₄. 3. Die Koeffizienten aus Schritt 2 spaltenweise in eine Matrix eintragen:

M_B^B(γ) =







3 0 2 0 0 3 0 1 2 0 1 0 0 2 0 1





 .