Lehrstuhl f¨ur Theoretische Informatik Prof. Dr. Markus Lohrey
Logik I Klausur 27.08.2018
Klausur zur Vorlesung
” Logik I“
SS 2018 / 27. August 2018
Vorname:
Nachname:
Matrikelnummer:
Aufgabe Punktzahl Erreicht
1 12
2 10
3 8
4 8
5 12
Σ 50
• Pr¨ufungsdauer: 60 Minuten
• Hilfsmittel: Ein beidseitig beschriebenes DIN-A4-Blatt.
• Benutzen Sie ein dokumentenechtes Schreibger¨at und schreiben Sie nicht mit roter Farbe.
• Uberpr¨¨ ufen Sie die Ihnen ausgeh¨andigte Klausur auf Vollst¨andigkeit (5 Aufgaben auf 6 Seiten).
• Schreiben Sie ihre L¨osungen in die daf¨ur vorgesehenen Felder. Reicht der Platz in einem Feld nicht aus, so benutzen Sie die R¨uckseite des entsprechenden Blattes und vermerken dies auf der Vorderseite. Reicht der Platz dennoch nicht aus, k¨onnen Sie die Aufsicht nach zus¨atzlichen Bl¨attern fragen.
Klausur Logik I Name:
27.08.2018 Matrikelnummer:
Aufgabe 1. (12 Punkte)
(a) Zeigen Sie durch geeignetes Anwenden des Markierungsalgorithmus, dass folgen- de Formel g¨ultig ist:
F = (¬A∧D∧B)∨ ¬C∨A∨(C∧B ∧ ¬C)∨(¬B∧C)∨(C∧ ¬D∧B) Geben Sie an, welche atomaren Formeln in jedem Schritt markiert werden, je- weils mit Begr¨undung.
L¨osung: Dies gilt genau dann, wenn ¬F unerf¨ullbar ist:
¬F ≡(D∧B →A)∧(1→C)∧(A→0)∧(C∧B →C)
∧(C →B)∧(B ∧C→D)
• Markiere C wegen 1→C.
• Markiere B, weil C markiert undC →B.
• Markiere D, weil B und C markiert und B∧C →D.
• Markiere A, weil D und B markiert und D∧B →A.
• Gib unerf¨ullbar aus, weil A markiert undA →0.
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die folgende Klauselmenge unerf¨ullbar ist:
{{C,¬C, A},{C,¬A},{¬B,¬A},{¬B, C},{¬C},{A, B}}
L¨osung:
{C,¬C, A} {¬B, C}
{A,¬B, C} {A, B}
{A, C} {C,¬A}
{C} {¬C}
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Klausur Logik I Name:
27.08.2018 Matrikelnummer:
Aufgabe 2. (10 Punkte)
(a) Gegeben sei folgende Formel F:
F =∀xQ(x)∧ ∀x∃z∀y(P(x, w)∧P(z, y)) Geben Sie eine Skolemform zu F an.
L¨osung:
• BPF: ∀x1∀x2∃z∀y(Q(x1)∧P(x2, w)∧P(z, y))
• Skolemform: ∀x1∀x2∀y(Q(x1)∧P(x2, w)∧P(fz(x1, x2), y)) (b) Gegeben sei folgende Formel in Skolemform mit Matrix in KNF:
G=∀x∀y (R(a, x)∨R(y, f(y)))∧ ¬R(x, y) Zeigen Sie mit Hilfe der Grundresolution, dass Gunerf¨ullbar ist.
L¨osung:
R(a, x)∨R(y, f(y))
[x/f(a), y/a] =R(a, f(a))∨R(a, f(a))
¬R(x, y)[x/a, y/f(a)] =¬R(a, f(a)) {R(a, f(a))} {¬R(a, f(a))}
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Sei N = (N \ {0}, I), wobei I(+), I(·) und I(=) die ¨ubliche Bedeutung haben.
Formalisieren Sie folgende Aussagen:
(a) + ist assoziativ.
L¨osung: ∀x∀y∀z(x+y) +z=x+ (y+z) (b) x ist gerade.
L¨osung: ∃y y+y =x
(c) Es gibt keine gr¨oßte nat¨urliche Zahl.
L¨osung: ¬∃z∀x∃y x+y=z (d) x ist eine Primzahl.
Zu jeder Variable z haben Sie die Formel 1z zur Verf¨ugung, die besagt, dass z gleich 1 ist.
L¨osung: ¬1x∧ ∀y(¬1y∧ ¬(x=y)→ ¬∃z x=z·y)
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Klausur Logik I Name:
27.08.2018 Matrikelnummer:
Aufgabe 4. (8 Punkte)
Geben Sie zu folgenden Formeln jeweils ein Modell an:
(a)
∀x∀y(f(x) = f(y)→x=y)∧c=c@c∧ ∀x∃yP(x, x@y)
L¨osung: UA ={0},fA(x) = 0, @A(x, y) = 0, cA = 0, PA ={(0,0)}
(b)
∃xP(f(x), g(x))∧ ∀y¬P(y, y)∧Q(f(a))
L¨osung: UA = {0,1}, fA(x) = 0, gA(x) = 1, PA = {(0,1)}, QA = {0}, aA= 0
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(a) Widerlegen Sie folgende Behauptung: F¨ur jede pr¨adikatenlogische FormelF gilt:
Wenn F erf¨ullbar ist, dann ist¬F unerf¨ullbar.
L¨osung: Sei F =P(). SeiUA ={0} und PA ={()}. Dann gilt A |=F und F ist somit erf¨ullbar. Sei UA0 = {0} und PA0 = ∅. Dann gilt A0 6|= F bzw.
A0 |=¬F, also ist ¬F erf¨ullbar, was ein Widerspruch zur Annahme ist.
(b) Zeigen Sie, dass
∃xP(x)∧ ∀xQ(x)|=∃x(P(x)∧Q(x))
L¨osung: Sei A eine beliebige Struktur und gelte A |= ∃xP(x)∧ ∀xQ(x).
Es gibt also ein a ∈ UA mit A[x/a] |= P(x) und wegen A |= ∀xQ(x) gilt auch A[x/a] |= Q(x). Insgesamt gilt also A[x/a] |= P(x) ∧Q(x), also auch A |=∃x(P(x)∧Q(x)).
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