Übungsblatt Klausur 4 Version 2021

Philipp-Melanchthon-Gymnasium Bautzen Lk Mathematik Kl. 11

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Übungsblatt Klausur 4 Version 2021

Quellen: nach Poolaufgaben Abitur Ma 2017 - 2020

Übungsblatt Thema: Klausurübung Klausur 4

Schwerpunkt 1(Aufgaben ohne HM): Lagebeziehung geometrischer Objekte

1 Gegeben ist das Quadrat ABCD mit , , und . Das Quadrat liegt in der Ebene mit der Gleichung .

1.1 Weisen Sie nach, dass das Quadrat den Flächeninhalt 25 besitzt.

Erreichbare BE-Anzahl: 2 1.2 Es gibt Punkte S, für die die Pyramide ABCDS das Volumen 50 hat.

Bestimmen Sie die z-Koordinate eines dieser Punkte.

Erreichbare BE-Anzahl: 3

2 Gegeben sind die Gerade und die Geraden

.

2.1 Bestimmen Sie denjenigen Wert von a, für den die Richtungsvektoren von g und zueinander senkrecht sind.

Erreichbare BE-Anzahl: 2 2.2 Weisen Sie nach, dass sich die Geraden g und schneiden.

Erreichbare BE-Anzahl: 3 3 Für jeden Wert von bilden die Punkte , und

ein Dreieck.

3.1 Zeigen Sie, dass jedes dieser Dreiecke bei B einen rechten Winkel hat.

Erreichbare BE-Anzahl: 2 3.2 Bestimmen Sie alle Werte von t, für die im jeweiligen Dreieck zwei Innenwinkel gleich

groß sind.

Erreichbare BE-Anzahl: 3 4 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2|2|O), B(8|2|8) und

C t (-3 + 4t|—22 + 25t|10 — 3t) mit t ∈ ℝ gegeben.

4.1 Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, auf der alle Punkte C t liegen.

Erreichbare BE-Anzahl: 1 4.2 Die Punkte A, B und C 2 bestimmen eine Ebene E.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in parameterfreier Form.

Erreichbare BE-Anzahl: 2 4.3 Die Ebene E, die Koordinatenebenen und die Ebene mit der Gleichung y = 3 begrenzen ein

gerades, dreiseitiges Prisma vollständig.

Stellen Sie dieses Prisma in einem kartesischen Koordinatensystem dar.

Erreichbare BE-Anzahl: 2 5 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte , und

mit gegeben.

5.1 Untersuchen Sie die Vektoren und auf lineare Abhängigkeit.

Erreichbare BE-Anzahl: 2

5.2 Ermitteln Sie die y-Koordinate des Vektors so, dass dieser Vektor und die Vektoren

und linear abhängig sind.

Erreichbare BE-Anzahl: 2 A ( 3 3 4 ) ^B ( ^{6 7 4} ) ^C ( ^{2 10 4} ) ^D ( ^{−1 6 4} )

z = 4

g : x !"

= -1

2 -3

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟ + t ⋅ 5 2 -1

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟ ( t ∈ # )

h a : x !"

=

− a 8

− 6

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ + s ⋅ 2 ⋅ a + 3

2 1+a

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ( s ∈R , a ∈R )

h a

h − 2

t ∈ ! \ { } 0 ^A ( ^{7 3 0} ) ^B ( ^{5 3 4} ) ^C t ( 5 + 2 ⋅ t 3 4 + t )

ABC _t

A ( 1 1 −1 ) ^{B t} ( ^{1 1+ t −1+ 2t} )

C _t ( 1+ 2t 1 − t −1 ) ^{t ∈ ! und t > 0}

! " AB !!

2 ! " AC !!

4

4 y

− 8

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

! " AB !!

2 ! " AC !!

4

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Quellen: nach Poolaufgaben Abitur Ma 2017 - 2020

Schwerpunkt 2 (Aufgaben mit HM): Komplexaufgaben

1.1 Geben Sie die Koordinaten des Punktes D an.

Begründen Sie, dass der Punkt I die Koordinaten besitzt.

Erreichbare BE-Anzahl: 04 1.2 Untersuchen Sie, ob die Ebene, in der das Viereck BCGF liegt, parallel zu einer

Koordinatenachse verläuft.

Weisen Sie nach, dass das Viereck BCGF ein gleichschenkliges Trapez ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 05

2 Im Berliner Bezirk Marzahn-Hellersdorf befindet sich ein Ausstellungsgebäude, das die Form einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat (vgl. Abbildung). Die vollständig verglasten Außenwände sind zum Schutz gegen Sonneneinstrahlung teilweise mit Zink-blech verkleidet. Alle Glasscheiben stimmen in ihren Maßen überein.

Das Gebäude lässt sich in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft durch die Pyramide ABCDS mit

, , und

beschreiben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität.

1.1 Geben Sie die Koordinaten des Punkts A an.

Stellen Sie die Pyramide in einem Koordinatensystem grafisch dar.

Erreichbare BE-Anzahl: 03 1.2 Die Diagonalen der Grundfläche schneiden sich im Punkt F.

Geben Sie die Koordinaten von F an.

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass das Skalarprodukt der Vektoren und null ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 03 1.3 Die Seitenfläche BCS liegt in einer Ebene E.

Ermitteln Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform.

Erreichbare BE-Anzahl: 03 1.4 Der Innenraum des Ausstellungsgebäudes soll durch zwei Lichtleisten beleuchtet werden, die

sich im Modell durch Strecken darstellen lassen. Diese Strecken beginnen in den Mittelpunkten der Kanten bzw. und enden in einem Punkt L der Mittelsenkrechten des Dreiecks ABS zur Seite . Ein Designer schlägt vor, den Punkt L so zu wählen, dass die Lichtleisten einen rechten Winkel einschließen.

Untersuchen Sie, ob sich dieser Vorschlag geometrisch umsetzen lässt.

Erreichbare BE-Anzahl: 05 I ( −15 15 20 )

( ^{9 9 0} )

B ^C ( ^{0 9 0} ) ^D ( ^{0 0 0} ) ^{S ,} ( ^{4 5 4 5 12 ,} )

BF !!!!"

FS !!!"

CS DS AB

1 In einem Baumarkt werden Lampen für den Außenbereich angeboten. Eine dieser Lampen kann annähernd durch den Lampenkörper ABCDEFGHI beschrieben werden, der sich aus einer geraden quadratischen Pyramide EFGHI und einem Teil einer weiteren geraden quadratischen Pyramide ABCDEFGH zusammensetzt (siehe Abbildung).

Der Lampenkörper kann in einem kartesischen Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 Zentimeter) dargestellt werden.

Es gilt: , , ,

, , .

Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene.

Die Gesamthöhe des Lampenkörpers beträgt 35 cm.

A ( − 5 5 −15 ) ^B ( ^{−5 25 −15} ) ^C ( ^{−25 25 −15} )

E ( 0 0 0 ) ^F ( ^{0 30 0} ) ^G ( ^{− 30 30 0} )

A ^B

D C

E ^F

H G I

Abbildung (nicht maßstäblich)

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Quellen: nach Poolaufgaben Abitur Ma 2017 - 2020

3 Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier 4,50 m langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide.

Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden. In einem kartesischen

Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von z mit modellhaft durch die Punkte , B, C und

sowie , , und

H dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den

Punkt . Dabei beschreibt die den

Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Wirklichkeit.

3.1 Geben Sie an, wie tief die Pfosten in den Untergrund hineinreichen.

Erreichbare BE-Anzahl: 01 3.2 Geben Sie die Koordinaten des Punkts H an.

Weisen Sie nach, dass das Viereck EFGH ein Quadrat ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 05 3.3 Begründen Sie, dass die Pyramide EFGHS symmetrisch zur ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 03 3.4 Berechnen Sie den Inhalt der gesamten Dachfläche in Quadratmetern.

Erreichbare BE-Anzahl: 03 3.5 An der Spitze des Dachs ist eine gerade Stange befestigt, deren oberer Endpunkt durch

dargestellt wird. Auf den Turm treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell durch

parallele Geraden mit dem Richtungsvektor beschreiben. Der untere Endpunkt des

Schattens liegt auf der durch die Strecke dargestellten Dachkante.

Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts, der den unteren Endpunkt des Schattens darstellt.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

z ∈ ! A ( 2 −3 z )

D ( − 3 −2 z ) ^E ( ^{2 −3 4} ) ^F ( ^{3 2 4} ) ^G ( ^{−2 3 4} )

S ( 0 0 5 ) ^x 1 − x ₂ − Ebene

x ₃ − Achse

T ( 0 0 5,5 )

5

−1

−3

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

EF