Klausur zur Vorlesung
” Grundlagen der Theoretischen Informatik“
SS 2018 / 28. August 2018
Vorname:
Nachname:
Matrikelnummer:
Aufgabe Punktzahl Erreicht
1 20
2 9
3 6
4 6
5 5
6 5
7 6
8 7
9 5
10 8
11 6
12 4
13 4
14 3
15 6
16 0
Σ 100
• Wenn Sie in der Klausur50 Punkteerreichen, haben Sie mit Sicherheit bestanden.
• Hilfsmittel: Ein beidseitig beschriebenes DIN-A4-Blatt.
• Benutzen Sie ein dokumentenechtes Schreibger¨at.
• Uberpr¨¨ ufen Sie die Ihnen ausgeh¨andigte Klausur auf Vollst¨andigkeit (16 Aufgaben auf 15 Seiten).
• Tragen Sieauf jedes BlattIhrenNamenund IhreMatr.-Nr.in die entsprechen- den Felder ein.
• Schreiben Sie Ihre L¨osungen in die daf¨ur vorgesehenen Felder. Reicht der Platz in einem Feld nicht aus, so benutzen Sie die R¨uckseite des entsprechenden Blattes und vermerken Sie dies auf der Vorderseite. Reicht der Platz dennoch nicht aus, k¨onnen Sie die Aufsicht nach zus¨atzlichen Bl¨attern fragen.
• Schreiben Sie bitte deutlich. Unleserliche L¨osungen sind ung¨ultig.
• Ein T¨auschungsversuch f¨uhrt umgehend zum Ausschluss und Nichtbestehen.
Es erfolgt keine Vorwarnung.
• Alle mitgef¨uhrten elektronischen Ger¨ate sind vor der Klausur bzw. sp¨atestens jetzt auszuschalten.
Inhaltliche Hinweise:
• Endliche Automaten k¨onnen wahlweise grafisch oder tabellarisch angegeben werden.
• In den While- und Loop-Programmen d¨urfen Sie die Addition, Multiplikation, die in der Vorlesung definierte Subtraktion und f¨ur eine Variable x die Bedingung If x = 0 Then P End als While- bzw. Loop-berechenbar voraussetzen und in Ihren Programmen verwenden. Geben Sie an, in welcher Variable der Ausgabewert am Ende steht.
• Sie d¨urfen annehmen, dass die Addition und Multiplikation zweier nat¨urlicher Zah- len primitiv-rekursiv sind.
• F¨ur die Konstruktion von µ- bzw. primitiv-rekursiven Funktionen und f¨ur While- und Loop-Programme darf die Schreibweise aus den ¨Ubungen benutzt werden.
Aufgabe 1. (20 Punkte) In jeder der 10 Teilaufgaben gibt es drei m¨ogliche Antworten, von denen eine, zwei oder auch alle drei Antworten richtig sein k¨onnen. F¨ur jede Teilaufgabe gibt es 2 Punkte, die nur vergeben werden, wenn alle Kreuze innerhalb der Teilaufgabe richtig gesetzt wurden.
(1) Sei Leine regul¨are Sprache. Dann gilt . . .
L wird durch eine regul¨are Grammatik erkannt.
L wird durch eine Turingmaschine erkannt.
L ist unentscheidbar.
(2) Sei L={anbm |max(n, m)≤10}. Es gilt . . .
L ist regul¨ar. L ist kontextfrei. List endlich.
(3) Sei Σ ={a, b}. Betrachte L={aw |w∈Σ∗} und K ={bw |w ∈Σ∗}.
Es gilt . . .
Σ∗\L=K Σ+\L=K L∩K =∅
(4) F¨ur die regul¨aren Ausdr¨uckeα =a(bb)∗a und β =ab∗a gilt . . . L(α)∩L(β) = ∅ L(α)⊆L(β) L(α)⊇L(β) (5) Sei L⊆Σ∗ eine kontextfreie Sprache. Dann gilt . . .
L\ {ε} ist kontextfrei.
Σ∗\L ist kontextfrei.
L wird durch einen nicht-deterministischen Kellerautomat erkannt.
(6) Eine Grammatik in Chomsky-Normaform . . . ist eine regul¨are Grammatik.
ist eine kontextfreie Grammatik.
ist eine kontextsensitive Grammatik.
(7) Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Jede totale Funktion ist Loop-berechenbar.
Jede Loop-berechenbare Funktion ist total Jede While-berechenbare Funktion ist total.
(8) Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Jede primitiv rekursive Funktion ist Loop-berechenbar.
Jede Loop-berechenbare Funktion ist primitiv rekursiv.
Jede µ-rekursive Funktion ist Turing-berechenbar.
(9) F¨ur welche Argumente ist µf mit folgender Funktion f: N2 →N definiert?
f(n, x) = x2+n2 0 1 2
(10) Seien A, B ⊆Σ∗ und f: Σ∗ →Σ∗ eine totale Funktion mit x∈A ⇔f(x) ∈B.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Wenn χA und f berechenbar sind, dann ist χB berechenbar.
Wenn χB und f berechenbar sind, dann ist χA berechenbar.
Wenn χB berechenbar ist, dann istχA berechenbar.
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Aufgabe 2. (9 Punkte) Sei Σ ={a, b}. Geben Sie f¨ur jede der folgenden Sprachen einen endlichen Automaten und einen regul¨aren Ausdruck an.
(a) L1 ={w∈Σ∗ |wbeginnt nicht mit aa}
(b) L2 ={w∈Σ∗ |wendet auf bb}
(c) L3 ={w∈Σ∗ |wbeginnt mit b und enth¨alt gerade viele a’s}
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Aufgabe 3. (6 Punkte) Gegeben sei der NFA M = ({1,2,3},{a, b}, δ,{1},{2}), wobei δ gegeben ist durch:
δ a b
1 {1,2} {3}
2 ∅ {1,2}
3 {1,2,3} {2,3}
(a) Zeichnen Sie das zu M geh¨orige Automatendiagramm.
(b) Geben Sie mittels Potenzmengenkonstruktion einen zuM ¨aquivalenten DFA an.
Es gen¨ugt, den vom Startzustand erreichbaren Teil anzugeben.
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Aufgabe 4. (6 Punkte) Minimieren Sie den folgenden DFA mit dem Algorithmus aus der Vorlesung. Geben Sie an, welche Zustandspaare in welcher Reihenfolge markiert werden und zeichnen Sie den erhaltenen minimalen DFA.
1 2
3
4
5 6
a
b
a
b
a b a
b
a, b
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Aufgabe 5. (5 Punkte) Gegeben sei folgende Sprache L⊆ {a, b}∗ mit L={anbmv |v ∈ {a, b}∗,|v|ist gerade und n= 2m}.
Zeigen Sie, dass L nicht regul¨ar ist.
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Aufgabe 6. (5 Punkte) Sei die Sprache Luber Σ =¨ {a, b, c} gegeben durch L={aibjck |i, j, k ≥0 und i+k =j}.
Geben Sie einen Kellerautomaten an, der L akzeptiert.
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Aufgabe 7. (6 Punkte) Gegeben sei die GrammatikG= ({S, A, B, C},{a, b}, S, P) mit P :S →AB|AC
C →SB A→a B →b
Testen Sie mit dem CYK-Algorithmus, ob das Wort aabb inL(G) enthalten ist.
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Aufgabe 8. (7 Punkte) EinPalindromist ein Worta1a2· · ·anmita1a2· · ·an=an· · ·a2a1. Geben Sie f¨ur die Sprache
L={w ∈ {a, b}∗ |w istkein Palindrom}.
eine kontextfreie Grammatik an. Beachten Sie, dass es Palindrome gerader und un- gerader L¨ange gibt.
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Aufgabe 9. (5 Punkte) Sei M = ({z0, z1, zf},{a, b},{a, b,}, δ, z0,,{zf}) die deter- ministische Turingmaschine mit
- δ(z0,) = (zf,, N) - δ(z0, a) = (z0, a, R) - δ(z0, b) = (z1, b, R) - δ(z1, b) = (z1, b, R) - δ(z1, a) = (z1, a, N) - δ(z1,) = (zf,, N)
(a) Akzeptiert M das Wort w1 =bbbb? ja nein (b) Akzeptiert M das Wort w2 =aabbbab? ja nein
(c) Welche Sprache akzeptiert M?
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Aufgabe 10. (8 Punkte)
(a) Geben Sie ein Loop-Programm an, welches die Funktion
f(x, y, z) =
x+z, wenny= 0, max(x, y), wennz = 0, 2x+yz, sonst
berechnet.
(b) Geben Sie an, welche partielle Funktion f: N2 → N das folgende While- Programm berechnet (Eingabevariablen sind x1 und x2, die Ausgabevariable ist x1):
x3 :=x1+x2; x4 :=x1−x2;
While x4 6= 0 Do x3 :=x3+ 1 End; x1 :=x3·x3
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Aufgabe 11. (6 Punkte) Geben Sie f¨ur die folgenden partiellen Funktionen jeweils ein While-Programm an, das sie berechnet.
(a) f: N2 →Nmit f(a, b) =
(a fallsb > 2a undefiniert sonst.
(b) g: N→N mit g(n) =
(1 fallsn gerade, undefiniert sonst.
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Aufgabe 12. (4 Punkte) Zeigen Sie, dass die folgende Funktion f: N2 → N primitiv- rekursiv ist.
f(x, y) =
x
X
i=1 y
X
j=1
ij
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Aufgabe 13. (4 Punkte) Geben Sie an, welche Funktionen von µf und µg berechnet werden, wobei f und g wie folgt definiert sind.
(a) f(n, x, y) = 2x−n5y
(b) g(n, x, y) =x+n·(y−5)
Aufgabe 14. (3 Punkte) Zeigen Sie, dass folgende Funktion µ-rekursiv ist:
f(x) =
(0 fallsx >10 undefiniert sonst
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Aufgabe 15. (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: N→N mit f(n) = 16n+ 5
Geben Sie eine Turing-Maschine an, die f berechnet. Beachten Sie, dass die Einga- bezahl n als Bin¨arzahl auf dem Band steht (z.B. kodiert 110 die Eingabezahl 6).
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Aufgabe 16. (5 Punkte (Bonus))
Ein Bagger will Ziegelsteine erreichen, die er zum Bau ben¨otigt. Daf¨ur muss er zun¨achst die Grube ¨uberqueren. Um die Grube zu ¨uberqueren, muss der Bagger zun¨achst die Holzbretter einsammeln und sie anschließend auf die Grube legen. Ohne die Bretter f¨allt er in die Grube und kann nicht mehr weiterarbeiten. Zuletzt m¨ussen die Ziegelsteine zur Baustelle (Zielf¨ahnchen) gefahren werden. Sobald der Bagger das Feld mit den Ziegelsteinen/Brettern bef¨ahrt, hat er diese eingesammelt. Nachdem er die Bretter eingesammelt hat, kann er die Grube sicher beliebig oft ¨uberqueren.
Der Bagger kann in einem Schritt nach links (`) oder nach rechts (r) fahren. Aus Sicherheitsgr¨unden darf der Bagger die oben abgebildeten sechs Felder nicht verlassen.
Sei Ldie Sprache aller W¨orterw∈ {`, r}∗, wobeiweine erfolgreiche Bewegungsfolge ist, d.h. der Bagger erreicht (unversehrt) die Baustelle mit den Ziegelsteinen. Zum Beispiel ist
rr``r```rrrrr
eine erfolgreiche Bewegungsfolge. Beschreiben Sie L mit einem Formalismus aus der Vorlesung (DFA, NFA, Grammatik, Kellerautomat, Turingmaschine, . . . ).
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